Chapitre 6

Tests sur la moyenne et la variance.

1. Test sur la moyenne.

X suit la loi normale N(m, s).

H0 : m = m0

H1 : m ¹ m0

M : estimateur empirique de la moyenne

S^2 : estimateur empirique de la variance

Test de Student :

		M – m0
T	=	^__________
		S/Ö(n-1)

Loi de T sous H₀ : loi de Student de degré de liberté n-1 

Région critique :

]-¥, m₀ - t_a s/(n - 1)^1/2[ È ] m₀ + t_a s/(n - 1) ^1/2 , +¥ [

t_a étant défini par P(½T½> t_a ] = a

Exemple : l’objectif fixé par les responsables nationaux de l’enseigne Euromarket est un montant moyen des achats égal à 420F. Le directeur commercial s’inquiète du montant moyen observé (316.95F) dans son hypermarché et veut donc vérifier si cette valeur montre effectivement une différence. La variance estimée est égale à s² = 42902.472.

Pour un risque de première espèce de 5% et un degré de liberté égal à 49, on a :

t_a = 2.02.

La région critique est donc :

]-¥, 360.23 [ È ] 479.77, +¥ [

La valeur 316.95 appartient à la région critique. On rejette donc l’hypothèse nulle.

équivalence : on calcule l’intervalle de confiance de la moyenne (cf. chapitre 5) :

IC = [ 257.173, 376.717 ]

La valeur 420 n’appartient pas à l’intervalle de confiance. Elle n’est pas acceptable.

2. Comparaison de moyennes.

X1 = N(m1, s1)	X2 : N(m2, s2)
H0 : m1 = m2	H1 : m1 ¹ m2

M₁ et S₁² estimateurs empiriques de la moyenne et la variance de X₁

M₂ et S₂² estimateurs empiriques de la moyenne et la variance de X₂

n₁ et n₂ : nombres d’observations de X₁ et X₂.

Statistique U :

		M1 - M2
U	=	––––––––––––––––––––
		[S1^2/(n1-1) + S2^2/(n2-1)]^1/2

Loi de U sous H₀ : la loi normale centrée réduite (n₁ et n₂ suffisants, s₁= s₂) .

Région critique :

RC = ] - ¥, -u_a] U [u_a, + ¥ [

u_a étant défini par P(½U½> u_a ) =a

Exemple : la moyenne des achats de l’autre hypermarché (410F) a été calculée sur 100 clients. La variance des achats calculée sur ces 100 clients est égale à 35401.

On en déduit :

		316.95 - 410
T	=	^__________________________________________	=	– 2.65
		[ 42902.47 / 49 + 35401 / 99 ]^1/2

Pour un risque de première espèce a = 0.05, on a u_a = 1.96. La valeur observée t appartient à la région critique et on rejette donc l’hypothèse nulle : la différence entre les deux moyennes n’est vraisemblablement pas due uniquement au hasard.

3. Test sur la variance.

X suit la loi normale N(m, s).

H0 : s^2 = s0^2

H1 : s^2 ¹ s0^2

M : estimateur empirique de la moyenne

S² : estimateur empirique de la variance

Statistique :

X² = n S²/s₀²

Loi de X² sous H₀ : loi du c² de degré de liberté n = n-1.

Région Critique :

RC = [0, c_a²] È [c_1-a², + ¥ [

c_a² et c_1-a² étant définies par la relation :

P(X^2 < ca^2 ) = a/2

P(X^2 > c1-a^2 ) = a/2

Exemple : nous supposons que la loi de probabilité de la v.a. âge est la loi normale (en éliminant les trois clients retraités) et testons l’hypothèse H₀ : s² =50.

La valeur observée sur les 47 clients est s² = 47.86. On en déduit :

X² = 47 x 47.86 / 50 = 44.99

Nous choisissons comme risque de première espèce a = 0.05. La table donne directement pour le degré de liberté n = 46 :

ca^2 = 29.160	tel que P(X^2<ca^2 ) =0.025
c1-a^2 = 66.617	tel que P(X^2>c1-a^2 ) =0.025

La région critique est : RC = [0, 29.160 ] È [66.617, + ¥ [. La valeur observée n’appartient pas à la région critique et on accepte l’hypothèse nulle.

En déterminant l’ensemble des valeurs s² telles que l’on accepte l’hypothèse nulle, on retrouvera l’intervalle de confiance déterminé dans le chapitre 5. On pourra examiner aussi la figure 11 du chapitre 5.

4. Comparaison de variances.

X1 = N(m1, s1)	X2 : N(m2, s2)
H0 : s1^2= s2^2 = s^2	H1 : s1^2 ¹ s2^2

M₁ et S₁² estimateurs empiriques de la moyenne et la variance de X₁

M₂ et S₂² estimateurs empiriques de la moyenne et la variance de X₂

n₁ et n₂ : nombres d’observations de X₁ et X₂.

Statistique :

		n1 S1^2 / s1^2		n2 - 1
F	=	^_____________	x	^_______
		n2 S2^2/ s2^2		n1 - 1

Loi de F sous H₀ : loi de Fisher de degrés de liberté n₁-1 et n₂-1.

Région Critique :

RC = ]0, f_a[U] f_1-a, + ¥ [

f_a et f_1-a étant définies par : P(F< f_a) = a/2, P(F> f_1-a) = a/2

Exemple : Pour contrôler l’égalité des moyennes des achats des deux hypermarchés, nous avons supposé que les variances étaient égales. Nous le vérifions ci-dessous, en supposant que les lois sont normales . Les variances des achats sont égale à :

s₁² = 42902.47 (n₁ = 50) s₂² = 35401 (n₂ = 100)

On en déduit :

		50 x 42902.47 / 49
f	=	^_______________________	=	1.2243
		100 x 35401 / 99

Nous choisissons comme risque de première espèce a = 0.02. Les degrés de liberté sont n₁ = 49 et n₂ = 99.La table donne directement f_1-a = 1.73.

Pour calculer f_a, il faut considérer la v.a. 1/F , qui suit la loi de Fisher de degrés de liberté n₁ = 99 et n₂ = 49. On a :

P(1/F>1/fa) = 0.01

Û

1/fa = 1.82

Û

fa = 0.549

La région critique est donc : RC = ]0, 0.549 [ ] 1.73, + ¥ [.

La valeur observée n’appartient pas à cette région critique et on accepte l’hypothèse d’égalité des variances.

5. Introduction au risque de seconde espèce et à la fonction puissance.

Définition :

risque de seconde espèce : probabilité d’accepter l’hypothèse nulle quand elle est fausse.

puissance : probabilité de rejeter l’hypothèse nulle quand elle est fausse.

p = 1 – b

Puissance du test sur la variance :

Hypothèses:

H0 : s^2 = s0^2

H1 : s^2 = s1^2

Acceptation de l’hypothèse nulle : n S²/s₀² n’appartient pas à la région critique.

Risque b de seconde espèce (sous H₁) :

					n S^2
b	=	P	( ca^2	<	––––	<	c1-a^2 )
					s0^2

Calcul de b :

			n S^2
b	=	P (ca^2	< –––– <	c1-a^2)
			s0^2
			nS^2s1^2
	=	P (ca^2	< –––––– <	c1-a^2)
			s0^2s1^2
		ca^2s0^2	nS^2	c1-a^2s0^2
	=	P (––––––	< ––––<	–––––––)
		s1^2	s1^2	s1^2

Loi de n S² / s₁² sous H₁ : loi du c² de degré de liberté n = n – 1.

Exemple : nous donnons ci-dessous la puissance du test sur la variance de l’âge. La valeur testée est fixée à s² = 50, le risque de première espèce à 0.05, et le nombre d’observations est égal à 47.

La lecture de ce tableau donne le renseignement suivant : la probabilité de rejeter l’hypothèse s² = 50 lorsque la vraie valeur est 33.333 est égale à 0.432 pour un risque de première espèce égal à 0.05.

Rang	variance vraie	puissance	Rang	variance vraie	puissance
1	20.0000	0.993	11	64.4444	0.263
2	24.4444	0.915	12	68.8889	0.379
3	28.8889	0.699	13	73.3333	0.497
4	33.3333	0.432	14	77.7778	0.606
5	37.7778	0.227	15	82.2222	0.701
6	42.2222	0.109	16	86.6667	0.778
7	46.6667	0.057	17	91.1111	0.839
8	51.1111	0.053	18	95.5556	0.885
9	55.5556	0.090	19	100.0000	0.919
10	60.0000	0.162

C