1) On sait que la somme de toutes les valeurs propres est égale au nombre p de varables considérées, et donc que leur moyenne est égale à 1.
Supposons que la somme des k premières valeurs propres soit strictement inférieure à k. La moyenne des k premières valeurs propres est donc strictement inférieure à 1. Les valeurs propres suivantes, de rangs k+1, …, p sont inférieures aux précédentes, et donc leur moyenne est inférieure à 1. On en déduit que la moyenne de toutes les valeurs propres, égale à la moyenne pondérée des moyennes, est strictement inférieure à 1, ce qui est impossible.
2) Les p – l premières valeurs propres ayant une somme supérieure ou égale à p – l, les l dernières ont une somme inférieure à l puisque la somme totale est égale à p.
3) Soit S(k) la somme des k premières valeurs propres. La somme de toutes les valeurs propres étant égale à p, la somme des p – k valeurs propres restantes est égale à p – S(k).
On note lk
la valeur propre de rang k : les valeurs propres de rang supérieur sont
inférieures ou égales à lk,
et la somme des p – k valeurs propres
restantes est inférieure ou égale à (p – k) lk.
On a donc :
|
p – S(k) |
£ |
(p – k) lk |
|
p – S(k-1) – lk |
£ |
(p – k) lk |
|
(p – k+1) lk |
³ |
p – S(k-1) |
Sachant que les valeurs propres sont ordonnées suivant leurs valeurs décroissantes, on a finalement :
|
lk-1 ³lk ³ (p – S(k-1))/ (p – k+1) |