1. Calcul de probabilités d’événements
On note dans ce texte EC l’événement contraire de E.
1)
P(ACÇBC),
P(ACÈBC),
P(AÈBC), P(ACÇB).
L’ensemble ACÇBC est constitué d’éléments qui n’appartiennent pas à A ni à B. Il est représenté en rouge dans la figure ci-dessous : on reconnaît le complémentaire de A ÈB .
De la même façon, l’ensemble ACÈBC est égal au complémentaire de AÇB. On a donc :
P(ACÈBC) = 1 – P(AÇB)
étudions maintenant les deux autres probabilités : On a :
(AÈBC) È (AÈB) = P
En effet, les élements de AÈBC appartiennent à A ou au complémentaire de B, et les élements de AÈB appartiennent à A ou à B : on trouve tous les éléments de la population.
L’intersection (AÈBC) Ç (AÈB) est constitué des éléments de A :
(AÈBC) Ç (AÈB) = A
La figure ci-dessous visualise l’intersection (AÈBC) Ç (AÈB) : on obtient l’ensemble en gris hachuré de blanc, c’est-à-dire A. On en déduit :
P(AÈBC) + P(AÈB) – P(A) = P(P) = 1
d’où :
P(AÈBC) = 1 - P(AÈB) + P(A)
|
P(AÈBC) = 1 – P(B) + P(AÇB) |
Il reste à calculer P(ACÇB). Il suffit de remarquer que :
(ACÇB)C = AÈBC
On en déduit :
P(ACÇB) = 1 – P(AÈBC)
|
P(ACÇB) = P(B) + P(AÇB) |
2) On considère une suite d’événements Ai, i = 1 …, n. La relation se démontre par récurrence. On sait qu’elle est vraie pour n = 2. On la suippose vraie pour n et on la démontre pour n+1.
A = A1 È A2 È … È An+1
On peut écrire A sous la forme suivante :
A = B È An+1
avec :
B = A1 È A2 È … È An
On a :
P(A) =
P(B) + P(An+1) – P(BÇ An+1)
Or d’après l’hypothèse de récurrence les ensembles Ai et An+1 sont disjoints et l’intersection BÇ An+1 vide. On en déduit :
|
P(A) = |
P(A1) + P(A2) + … + P(An+1)
|