Chapitre 9

ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

1. NATURE DES DONNÉES ÉTUDIÉES.

1.1 Données initiales.

· Tableaux de contingence obtenus par tri croisé d’un échantillon ou assimilés

· Tableaux de mesures positives

· Tableaux disjonctifs complets (analyse des correspondances multiples)

Exemple de tableau de contingence:

X : 3 modalités					Y : 4 modalités
brunes : fumeur de brunes					mm : mineur masculin
blondes : fumeur de blondes					mf : mineur féminin
non fumeur					MF majeur féminin
					MM : majeur masculin
				Y
		mm	mf	MF		MM
	brunes	63	37	41		47
X	blondes	36	55	39		38
	non fumeur	34	27	72		38

Notations :

Dans le cas général, le tableau des proportions est noté P_IJ :

					Y
		y1	y2	…	yj	…	yq
	x1	p11	p12	…	p1j	…	p1q
	x2	p21	p22	…	p2j	…	p2q
	…	…	…	…	…	…	…
X	xi	pi1	pii	…	pij	…	piq
	…	…	…	…	…	…	…
	xp	pp1	pp2	…	ppj	…	ppq

On a évidemment : p_ij=n_ij / N en notant n_ij l’effectif figurant à la ligne i (modalité x_i) et la colonne j (modalité y_j) , et N l’effectif total.

1.2 unités statistiques.

Définition : les marges du tableau sont les répartitions suivantes :

· P_I = (p_i.) i = 1, …, p: répartition des réponses à la question X suivant les modalités x₁, x₂, …(en proportions)

p_i. = somme des p_ij pour i fixé

· P_J = (p._j) j = 1, …, q : répartition des réponses à la question Y suivant les modalités y₁, y₂, …(en proportions)

p._j = somme des p_ij pour j fixé

Définition des profils

Les profils lignes sont les répartitions suivant les modalités en colonnes des individus donnés en lignes :

	mm	mf	MF	MM	total
profil brunes	0.335	0.197	0.218	0.250	1
profil blondes	0.214	0.327	0.232	0.226	1
profil non fumeur	0.199	0.158	0.421	0.222	1
centre de gravité PJ	0.252	0.226	0.288	0.233	1

profils lignes P_Jⁱ

La notation est la suivante :

					Y
		y1	y2	…	yj	…	yq
	PJ^1	p1^1	p2^1	…	pj^1	…	pq^1
	PJ^2	p1^2	p2^2	…	pj^2	…	pq^2
	…	…	…	…	…	…	…
X	PJ^i	p1^i	p2^i	…	pj^i	…	pq^i
	…	…	…	…	…	…	…
	PJ^p	p1^p	p2^p	…	pj^p	…	pq^p
	PJ	p.2	p.3	…	p.4	…	p.5

Les profils colonnes sont les répartitions suivant les modalités en lignes des individus donnés en colonnes.

	profil mm	profil mf	profil MF	profil MM	centre de gravité PI
brunes	0.474	0.311	0.270	0.382	0.357
blondes	0.271	0.462	0.257	0.309	0.319
non fumeur	0.256	0.227	0.474	0.309	0.324
total	1	1	1	1	1

profils colonnes P_I^j

La notation est la suivante :

					Y
		PI^1	PI^2	…	PI^j	…	PI^q	centre de gravité PI
	x1	p1^1	p1^2	…	p1^j	…	p1^q	p1.
	x2	p2^1	p2^2	…	p2^j	…	p2^q	p2.
	…	…	…	…	…	…	…	…
X	xi	pi^1	pi^2	…	pi^j	…	pi^q	pi.
	…	…	…	…	…	…	…	…
	xp	pp^1	pp^2	…	pp^j	…	pp^q	pp.
		1	1		1		1

2. PRéSENTATION DE LA MéTHODE.

2.1 Notion de distance entre deux profils.

Définitions :

· La distance du c² entre deux profils lignes P_Jⁱ et P_J^i’ est définie par son carré de la façon suivante :

		q
d^2(i,i’)	=	S	[ pj^i – pj^i’]^2 / p.j
		j = 1

· La distance du c² entre deux profils colonnes P_I^j et P_I^j’ est définie par son carré de la façon suivante :

		p
d^2(i,i’)	=	S	[ pi^j – pi^j’]^2 / pi.
		j = 1

Exemples :

	x1	x2	x3
x1	0.000
x2	0.136	0.000
x3	0.226	0.252	0.000

Distances entre les profils lignes

	y1	y2	y3	y4
y1	0.000
y2	0.192	0.000
y3	0.264	0.325	0.000
y4	0.037	0.109	0.128	0.000

Distances entre les profils colonnes

2.2 Description d'un ensemble de profils. Définitions.

· Recherche des axes les plus proches des points (critère des moindres carrés)

· Axes principaux et composantes principales : facteurs principaux.

· Inertie = variance des facteurs

· somme des inertie : c²/N (N : somme du tableau)

· Valeur propre « triviale » égale à 0 ou 1 suivant le logiciel.

· c² = 35.726, P(X²>x²)= 0.0000

· l₁ = 0.04495, l₂ = 0.02284, l₃ = 0.00000, l₄ = 0

2.3 Propriété de dualité.

· Cette propriété relie les profils colonnes et les profils lignes.

· Les ensembles de profils ont les mêmes valeurs propres.

· Il existe une relation entre les facteurs sur les profils lignes et les facteurs sur les profils colonnes.

3. INTERPRéTATION DES RéSULTATS.

3.1 Représentation graphique. Plans principaux.

3.2 Paramètres d'aide à l'interprétation.

Poids : chaque profil intervient d’autant plus dans l’analyse que son poids, égal à la somme p_i. (profil ligne) ou p_.j (profil colonne) est élevé.

contributions : les contributions mesurent l’influence des profils dans le calcul des axes principaux.

Moyennes et variances des facteurs : comme en ACP, les moyennes des facteurs sont nulles, les variances égales aux valeurs propres, et les coovariances à 0. On n’oubliera pas de pondérer les profils dans les calculs.

Coordonnées des profils lignes :

	poids	C(i)	Cos²(i)	Contrib(i)	C(i)	Cos²(i)	Contrib(i)
brunes	0.357	-0.128	0.331	12.9	-0.181	0.669	51.4
blondes	0.319	-0.168	0.449	20.0	0.186	0.551	48.2
ne fume pas	0.324	0.305	0.997	67.1	0.017	0.003	0.4

Coordonnées des profils colonnes :

	poids	C(j)	Cos²(j)	Contrib(j)	C(j)	Cos²(j)	Contrib(j)
mm	0.252	-0.131	0.286	9.7	-0.207	0.714	47.5
mf	0.226	-0.226	0.513	25.7	0.220	0.487	48.0
MF	0.288	0.316	0.980	64.1	0.045	0.020	2.5
MM	0.233	-0.030	0.312	0.5	-0.044	0.688	2.0