Chapitre 8

séries chronologiques

1. Description d'une série chronologique.

Décomposition en trois types de variations : tendance (effets permanents sur les observations), variations saisonnières (effets périodiques), variations accidentelles (effet du hasard).

1.1 description de la tendance.

Définitions :

(i) moyenne mobile centrée de longueur impaire li = 2 k +1 au temps t :

mmt = (xt-k + xt-k+1 + … +  xt-1 + xt + xt+1 + … + xt+k-1 + xt+k) / li

Exemple : li = 5, k = 2 mmt = (xt-2 + xt-1 + xt + xt+1 + xt+2) / 5

(ii) on appelle moyenne mobile centrée de longueur paire lp = 2 k au temps t :

mmt = (0.5 xt-k + xt-k+1 + … + xt-1 + xt + xt+1 + … + xt+k-1 + 0.5 xt+k) / lp

Exemple : lp = 4, k = 2 mmt = (0.5 xt-2 + xt-1 + xt + xt+1 + 0.5 xt+2) / 4

1.2 description simultanée des variations saisonnières et de la tendance.

Définition : la période notée p des variations saisonnières est la longueur exprimée en unités de temps séparant deux variations saisonnières dues à un même phénomène périodique. On l’appelle aussi nombre de variations saisonnières.

Nombre trimestriel de mariages dans la région centre de 1972 à 1985.

Moyennes mobiles de longueur 4


Théorème : les moyennes mobiles dont la longueur est égale à la période des variations saisonnières caractérisent la tendance de la série chronologique.

Lorsque les variations saisonnières sont de période 4, on peut donc les filtrer en utilisant des moyennes mobiles dont la longueur est un multiple de 4.

2. modèlisation et désaisonnalisation.

2.1 modèle additif de série chronologique.

quel que soit t = 1, …, T

 

xt = ct + st + et

quel que soit i = 1, …, n

quel que soit j = 1, … p

xi,j = ci,j + sj + ei,j

Définition : les termes sj du modèle additif exprimé sous la forme précédente sont appelés coefficients saisonniers du modèle additif.

 

règle de calcul des estimations des coefficients saisonniers du modèle additif :

·        on calcule les différences entre les observations et les moyennes mobiles ;

·        on calcule les moyennes sj' des différences de chaque colonne du tableau ;

·        on calcule la moyenne ms' de ces moyennes sj' ;

·        on obtient les estimations en centrant les moyennes des différences : sj = sj' - ms'.

2.2 modèle multiplicatif de série chronologique.

quel que soit t = 1, …, T

 

xt = ct (1 + st) + et

quel que soit i = 1, …, n

quel que soit j = 1, … p

xi,j = ci,j (1 + sj ) + ei,j

Définition : les termes Sj = 1 + sj du modèle multiplicatif exprimé sous la forme précédente sont appelés coefficients saisonniers du modèle multiplicatif.

 

règle de calcul des estimations des coefficients saisonniers du modèle multiplicatif :

·        on calcule les rapports des observations aux moyennes mobiles ;

·        on calcule les moyennes des rapports de chaque colonne du tableau ;

·        on calcule la moyenne de ces moyennes ;

·        on obtient les estimations Sj en divisant les moyennes des rapports par leur moyenne.

2.3 désaisonnalisation.

objectif : comparer des observations dont les variations saisonnières sont différentes.

définition : on appelle observation corrigée des variations saisonnières (cvs) la valeur xi,j' obtenue en éliminant l'effet saisonnier sur la valeur xi,j.

 

modèle additif :

xi,j' = xi,j - sj

modèle multiplicatif :

xi,j' = xi,j / Sj

 


3. filtre de Buys-Ballot.

3.1 Estimation des paramètres.

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, … p

xi,j = b [(i-1) p + j ] + a + sj + ei,j

 

 

12

 

n

 

n ( n + 1)

 

b =

_______________

[

S

i mi. -

____________ m

 ]

 

n p ( n2 - 1)

 

i = 1

 

2

 

 

a =

m - b ( n p + 1)/2

sj =

m.j - m - b [ j - ( p + 1 )/2 ]

 

m : moyenne de la totalité des observations

mi. : moyenne des observations de la ligne i

m.j : moyenne des observations de la colonne j

Nombre trimestriel de mariages

et filtre de Buys Ballot

3.2 validation du modèle linéaire et prévision.

Prévisions :

xi,jp = b [(i-1) p + j ] + a + sj

 

Résidus :

ei,j = xi,j - [ b [(i-1) p + j ] + a + sj ]

Les résidus doivent posséder les mêmes propriétés qu’en régression linéaire : répartition normale, indépendance avec la variable explicative, ici le temps. Pour vérifier ces propriétés, on examine la série et l’histogramme des résidus. C’est le cas sur les résidus obtenus ici :

Série des résidus (nombre trimestriel de mariages)

 

Histogramme des résidus (nombre trimestriel de mariages)