Chapitre 4

notions de probabilités

1. probabilités. probabilités conditionnelles.

1.1 Population et événements.

Définitions :

· Population statistique : ensemble P constitué de N éléments appelés unités statistiques (notées u.s.) ou individus. Le nombre N est appelé nombre de cas possibles.

· événement : sous-ensemble de la population P. Le nombre N_A d’u.s. appartenant à un événement A est appelé « nombre de cas favorables ».

Relations et opérations :

· Il existe deux événements très particuliers :

§ L’événement certain caractérisé par la population P.

§ L’événement impossible ou ensemble vide noté par la lettre grecque F (phi).

· B est inclus dans A si tous les éléments de B appartiennent à A.

· L’ensemble « A inter B » ou événement « A et B » noté AÇB, est constitué des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.

· L’ensemble « A union B » ou événement « A ou B » noté AÈB est constitué des éléments de A, de B ou de A et B (figure 2). On dit que le « ou » est inclusif.

· le sous-ensemble complémentaire B^c d’un sous-ensemble B (figure 4) est défini par le sous-ensemble A tel que :

AÈB = P

AÇB = F.

1.2 Définition et propriétés des probabilités.

On considère une population P d’effectif N et un événement A d’effectif N_A.

Définition : on appelle probabilité de l’événement A le rapport N_A/N « du nombre de cas favorables N_A au nombre de cas possibles N ».

Définition : Tirages avec et sans remise :

· L’unité statistique tirée peut être remise dans la population et être éventuellement retirée : le tirage est dit indépendant puisqu’il n’exerce aucune influence sur les tirages suivants.

· Inversement, si l’u .s. n’est pas remise, les nombres N_A et N sont diminués de 1 : après le premier tirage, la probabilité de l’événement A devient (N_A – 1)/(N – 1) et n’est plus la même : les tirages sont « dépendants » ou « sans remise ».

Propriétés des probabilités :

0 £ P(A) £ = 1

P(P) = 1 P(F) = 0

P(A^c) = 1 – P(A)

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

B Ì A Þ P(B) £ P(A)

1.3 Indépendance et probabilité conditionnelle.

Définition : La probabilité conditionnelle d’un événement B pour un événement A fixé de probabilité non nulle est définie de la façon suivante :

P(B/A) = P(BÇA)/P(A)

Définition : on dit que deux événements A et B sont indépendants quand la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. La probabilité de l’événement A Ç B est alors égale au produit des probabilités :

P(AÇB) = P(A) P(B)

Formule de Bayes : soit A un événement de P. On considère un événement B et son complémentaire B^c . On a :

		P(A/B) P(B)
P(B/A)	=	^___________________________________
		P(A/B) P(B) + P(A/B^c) P(B^c)

2. Variables aléatoires. lois de probabilité.

2.1 Variables aléatoires

Définition : on appelle variable aléatoire (notée v.a.) une application qui à chaque u.s. de P associe un objet ou un nombre appartenant à un ensemble V.

X :

P

^______>

V

· X discrète : V Ì N

· X continue : V = I Ì R

· X qualitative : V = ensemble de modalités

2.2 Probabilité d’un ensemble V par la v.a. X :

L’événement « XÎ V » est l’ensemble des u.s. de P telles que X(u) appartienne à V :

P{ XÎ V } = P{u Î P ; X(u) Î V}= P [X^-1 (V)]

2.3 Loi de probabilité d’une v.a. discrète.

Définition : la loi (ou densité) de probabilité d’une v.a. discrète dont les valeurs possibles sont 1, 2, ..., i, ..., …n est la suite de toutes les probabilités p_i = P(X = i).

· Propriété: toutes les probabilités p_i sont positives ou nulles et leur somme est est égale à 1.

pour tout i de 1 à n	pi ³0
		n
p1 + p2 + p3 + ... pi + … + pn	=	S	pi	=	1
		i = 1

· Calcul de probabilité : on considère des nombres entiers x₁, x₂, …, x_l. On a :

P[ X Î{x₁, x₂, ..., x_l}]= P[ X = x₁] + P[ X = x₂] + ... + P[ X = x_l]

		l
P[ X Î{x1, x2, ..., xl}]	=	S	P[ X = xj]
		j = 1

Définitions :

· Espérance E(X) (ou moyenne m) :

m = E(X) = p₁ x₁ + p₂ x₂ + ... p_i x_i + … p_n x_n

		n
m = E(X)	=	S	pi xi
		i = 1

· Variance V(X) (ou écart type s) :

s² = V(X) = p₁ (x₁ – m)² + p₂ (x₂ – m)^{2 +} ... + p_i (x_i – m)² + ... + p_n (x_n – m)²

		n
s^2 = V(X)	=	S	pi (xi – m)^2
		i = 1

s² = p₁ x₁² + p₂ x₂² + ... + p_i x_i ² + … + p_n x_n² – m²

		n
s^2 = V(X)	=	S	pi xi^2 – m^2
		i = 1

· Fonction de répartition :

F(x) = P(X £ x)

· Propriétés de l’espérance et de la variance :

E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y)

V(a X+ b ) = a^2 V(X)

2.4 Loi de probabilité d’une v.a. continue.

densité par intervalle :

d_i = P_i/l_i

où Pi est la probabilité de l’intervalle I_i et l_i est l’amplitude de l’intervalle I_i.

Relation fondamentale : P_i = d_i x l_i

Définitions :

· On appelle densité de probabilité d’une variable continue la fonction f(x) limite de la densité par intervalle lorsque le nombre d’observations augmente indéfiniment et que la longueur des intervalles tend vers 0.

· On appelle fonction de répartition F(x) d’une variable continue la fonction F définie pour tout x par :

F(x) = P(X £ x)

· La dérivée de la fonction de répartition F(x) est égale à densité f(x).

Propriétés des probabilités

· Aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses de -¥ à + ¥ : 1.

· P { X Î [ a, b] } (ou { X Î [ a, b [ } ) : aire comprise entre la densité, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

= F(b) – F(a)

· P( XÎ ] a, b ]) = P( XÎ [ a, b [ ) = P( XÎ ] a, b [ ) = P( XÎ [ a, b ])

· Soit c Î ] a, b[ : P( XÎ [ a, b ]) = P( XÎ [ a, c [ ) + P( XÎ [ c, b [ )

· P( XÎ ] – ¥, a ]) = F(a), P( XÎ ] a, + ¥ ]) = 1 – F(a)

Espérance et variance

· Espérance et variance : limites de l’espérance et de la variance en considérant la densité par intervalles.

· Propriétés de l’espérance et de la variance :

E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y)

V(a X+ b ) = a^2 V(X)