lois de probabilités

1. Lois de probabilité discrètes.

1.1 Loi uniforme discrète.

Définition :

Quel que soit i de 1, 2, ... à n :

p_i = P(X=i) =1/n

	n + 1		n² – 1
m =E(X) =	–––––	s² = V(X) =	–––––
	2		12

1.2 Loi de Poisson

Définition :

Quel que soit le nombre entier i de 1, 2, ... à ¥ :

		e^-^l l^k
p_k = P[X = k]	=	––––––––––
		1 x 2 x 3... x k

m = E(X) = l

s² = V(X) = l

1.3 Loi de Bernoulli et loi binomiale.

Définition (loi de Bernoulli) :

P ( X= 0) = 1 – p

P(X = 1) = p

m = E(X) = p

s² = V(X) = p (1 – p)

Définition (loi binomiale) : pour i = 0, 1, … à n

	1 x 2 x 3 x .. x n
p_i = P(X = i ) =	^{_________________________________________}	(1 – p)^{n - i} pⁱ
	(1 x 2 x 3 x .. x i) x (1 x 2 x 3 x ... x [n- i])

m = E(X) = n p

s² = V(X) = n p (1 – p)

2. Densités de Lois de probabilité continues.

2.1 Loi uniforme continue.

Définition :

Pour x Î ] a, b[	f(x) = 1/(b-a)
Pour x £ a ou x ³ b	f(x) = 0

Propriétés :

	a + b		(b – a )²
m =E(X) =	–––––	s² = V(X) =	––––––
	2		12

P( X Î[ x₁, x₂ ]) = (x₂ – x₁)/(b – a)

2.2 Loi exponentielle.

Définition :

		_{-a (x – x0)}
pour tout x ³ x₀	f(x) = a e
pour tout x < x₀	f(x) = 0

		_{-a (x – x0)}
F(x) = 1 –	e

Propriété :

m = E(X) = x₀ + 1/a

s² = V(X) = 1/a²

		-( x₁ – x₀)		-( x₂ – x₀)
P(XÎ [x₁, x₂] =	e		– e

2.3 Loi normale.

Définition :

	1		– ½ [ (x – m)/s ]²
f(x) =	^{_____________}	e
	s [ 2 p ]^1/2

Propriétés :

· Espérance : m

· Variance : s²

· (X – m)/s suit la loi normale centrée et réduite de moyenne 0 et de variance 1.

2.4 Loi du c², loi de Fisher, loi de Student.

v.a. suivant la loi du c²:

X² = X₁² + X₂² + … + X_n²

(n : degré de liberté).

v.a. suivant la loi de Fisher Snedecor:

	X₁² / n₁
F =	–––––––––
	X₂² / n₂

(n₁ et n₂ : degrés de liberté).

v.a. suivant la loi de Fisher Snedecor:

	X
T =	––––––
	[X²/n]^1/2

(n : degré de liberté).

3. Couples de variables aléatoires.

3.1 Couples de variables aléatoires qualitatives.

· X la première v.a., x₁, x₂, …, x_i, …x_p ses modalités.

· Y la seconde v.a., y₁, y₂, …, y_j, …, y_q ses modalités

					Question Y			marge
		y₁	y₂	...	y_j	...	y_q
	x₁	n_1,1	n_1,2	…	n_1,j	…	n_1,q	n₁.
	x₂	n_2,1	n_2,2		n_2,j		n_2,q	n₂.
	…	…	…		…		…	…
Question X	x_i	n_i,1	n_i,2	…	n_i,j	…	n_i,q	n_i.
	…	…	…		…		…	…
	x_p	n_p,1	n_p,2		n_p,j		n_p,q	n_p.
marge		n.₁	n.₂		n._j		n._q	n

· n : nombre total d’u.s.

· n_i,j : nombre d’u.s. vérifiant les deux modalités à la fois.

· n_i. : nombre d’u.s. ayant répondu à la question X par la modalité x_i .

· n._j : nombre d’u.s. ayant répondu à la question Y par la modalité y_j .

Densité du couple (X,Y)

P(X = x_i, Y = y_j) = n_i,j/n = p_i,j

Densités marginales :

p_i. = P(X = i) = n_i./n

p._j = P(Y = j)= n._j/n

3.2 Couples de variables aléatoires quantitatives :

loi binormale de coefficient de corrélation r :

	1		– ½ [ (x² + y² – 2 r x y]
f(x,y) =	^{_____________}	e
	2 p [1 – r²]^½

3.3 Indépendance de deux variables aléatoires.

Définition : on dit que deux variables X et Y sont indépendantes lorsque les événements « X Î I » et « YÎ J » sont indépendants quels que soient les sous-ensembles I et J.

Propriétés :

· cas de deux variables qualitatives ou discrètes indépendantes :

p_i,j = p_i. p._j

· cas d’une loi binormale :

coefficient de corrélation r = 0