2. Modélisation et désaisonnalisation.

Un modèle de série chronologique est une équation précisant la façon dont les composantes s’articulent les unes par rapport aux autres pour constituer la série chronologique. Il existe de très nombreux modèles, et parmi eux deux modèles classiques simples : le modèle additif et le modèle multiplicatif, auxquels nous nous limiterons.

Dans les deux modèles présentés, la longueur des moyennes mobiles doit être impérativement égale à la période des variations saisonnières.

Nous avons présenté dans le tableau 3.8 les données sous une forme particulière : en lignes, ce sont les années, et en colonnes les trimestres : le terme x_t correspondant à la t^e observation est alors noté x_i,j, i donnant l'année (la ligne) et j le trimestre (la colonne).

La relation entre les indices i et j d’une part et l’instant t d’autre part est la suivante :

t = (i-1) p + j

Exemple :

	j = 1	j = 2	j = 3	j = 4
i = 1	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4
i = 2	t = 5	t = 6	t = 7	t = 8
i = 3	t = 9	t = 1°	t = 11	t = 12

Exemple pour n = 3 et p = 4

Nous utiliserons cette notation très souvent dans la suite du texte.

2.1 Modèle additif de série chronologique.

La série chronologique x_t se décompose en une tendance notée c_t, des variations saisonnières s_t de période p (égales à s₁, s₂, s₃, …, s_p) et d'une composante accidentelle e_t.

Le modèle le plus simple est le modèle additif, dans lequel la variation saisonnière s'ajoute simplement à la tendance :

pour tout t = 1, …, T

xt = ct + st + et

Le modèle additif s'exprime donc en général de la façon suivante :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j = ci,j + sj + ei,j

Le terme s_j caractérise la variation saisonnière à l’instant j de chaque période i : du trimestre j dans le cas particulier des séries 1 et 2 (p = 4), du mois j dans des données mensuelles (p = 12) etc.… Les moyennes mobiles seront aussi notées mm_i,j.

Définition : les termes s_j du modèle additif exprimé sous la forme précédente sont appelés coefficients saisonniers du modèle additif.

On peut calculer la différence entre l'observation et la tendance :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j – ci,j = sj + ei,j

Pour un même trimestre, la différence entre l'observation et la tendance est donc à peu près constant et égale à s_j (on suppose que la composante accidentelle est relativement faible).

Nous avons vu précédemment que les moyennes mobiles de longueur l égale à la période des variations saisonnières sont des approximations de la tendance. On peut donc considérer que la différence entre une observation x_i,j et la moyenne mobile mm_i,j correspondante est à peu près constante pour j fixé :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j – mmi,j » sj

Cette propriété est recherchée sur la représentation graphique de la série x_t pour déterminer si cette série suit un modèle additif ou non. Elle peut être observée sur la figure 5.8 dans laquelle la tendance est caractérisée par les moyennes mobiles de longueur 4 : les différences entre x₃ et mm₃, entre x₇ et mm₇, entre x₁₁ et c₁₁ sont à peu près constantes, de même les différences entre x₄ et mm₄, x₈ et mm₈, x₁₂ et mm₁₂ etc.

On peut en déduire les différences x_i,j – mm_i,j. Les moyennes mobiles donnant une première approximation de la tendance c_i,j, les colonnes du tableau des différences contiennent des approximations des coefficients s_j.

Exemple : Les moyennes mobiles et par suite différences x_i,j – mm_i,j ne sont pas définies aux premier et deuxième trimestres de la première année, ni aux troisième et quatrième trimestres de la dernière (tableaux 4.8 et 5.8).

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1			103.39678	104.44080
Année 2	105.14860	106.25917	107.31233	108.46116
Année3	109.65950	110.47448	111.27404	112.28937
Année 4	113.42748	114.58360	115.45379	116.22236
Année 5	117.24943	118.38337	119.64839	120.80691
Année 6	121.79719	122.54573

Tableau 4.8 : moyennes mobiles de longueur 4 de la série 1

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1			5.50932	9.71580
Année 2	-8.94393	-6.86050	5.45047	10.72334
Année3	-10.05746	-5.28258	5.28226	9.62153
Année 4	-10.15538	-4.93910	5.75471	10.28534
Année 5	-11.61263	-4.95497	5.99271	10.33979
Année 6	-10.67929	-5.33023

Tableau 5.8 : différences entre les observations et les moyennes mobiles
de la série 1

Les différences apparaissant dans une même colonne sont proches les uns des autres et caractérisent le modèle additif.

Les différences x_i,j – mm_i,j sont donc des approximations des coefficients s_j. Leur moyenne (ou leur médiane) , pour chaque colonne j, donne une première estimation s_j':

		1	n
sj'	=	–––	S	(xi,j – mmi,j)
		n	i = 1

On obtiendra enfin les estimations définitives s_j en centrant ces termes s_j’:

· on calcule la moyenne des s_j’:

		1
ms'	=	–––	(s1' + s2' + … + sp')
		p

· on centre en posant :

pour tout j =1, …, p

sj = sj' – ms'

Exemple : le tableau 5.8 donne les différences entre les observations et les moyennes mobiles. On en déduit les moyennes suivantes :

s1' = -10.2897

s2' = -5.4735

s3' = 5.5979

s4' = 10.1371

· On calcule la moyenne des s_j' : m_s' = -0.007039938

· Les valeurs définitives sont obtenues en posant s_j = s_j' – m_s':

s1 = -10.2827

s2 = -5.4664

s3 = 5.6049

s4 = 10.1442

règle de calcul des estimations des coefficients saisonniers du modèle additif

· on calcule les différences entre les observations et les moyennes mobiles ;

· on calcule la moyenne ou la médiane s_j’ des différences de chaque colonne du tableau ;

· on calcule la moyenne m_s' de ces valeurs s_j' ;

· on obtient les estimations s_j en centrant les valeurs s_j’ : s_j = s_j' – m_s'.

2.2 Modèle multiplicatif de série chronologique.

Le second modèle que nous étudions ici est le modèle multiplicatif suivant :

pour tout t = 1, …, T

xt = ct (1 + st) + et

En présentant les données comme dans le paragraphe précédent, le modèle multiplicatif s'exprime de la façon suivante :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j = ci,j ( 1 + sj ) + ei,j

Le terme s_j caractérise la variation saisonnière du trimestre j dans le cas particulier des séries 1 et 2, du mois j dans des données mensuelles etc.

On peut calculer la différence entre l'observation et la tendance :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j – ci,j = ci,j sj + ei,j

Considérons le cas particulier j = 1 (1^er trimestre de l’année i).

pour tout i = 1, …, n

xi,1 – ci,1 = ci,1 s1 + ei,1

La différence x_i,1 – c_i,1 entre l'observation et la tendance est proportionnelle à la tendance c_i,1 : lorsque cette tendance est croissante, la différence augmente, lorsqu'elle est décroissante, il diminue.

Le même raisonnement peut évidemment être tenu pour j fixé quelconque. Les différences permettent ainsi de déterminer si la série chronologique étudiée suit un modèle multiplicatif.

Exemple : on considère la série chronologique ci-dessous :

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1	224.3705	253.2811	201.2421	248.9411
Année 2	274.3802	300.1641	248.9038	298.4386
Année 3	331.9657	371.4032	303.4313	365.9029
Année 4	406.6326	437.9967	361.5774	444.8447
Année 5	488.4166	536.5268	435.5698	549.3614
Année 6	598.0016	659.2896	533.2156	669.2675

Tableau 6.8 : série chronologique 2

(modèle multiplicatif , période p = 4)

Figure 7.8 : série 2 et moyennes mobiles de longueur 4

Cette série est soumise à des variations saisonnières de période 4 ; la tendance, caractérisée par les moyennes mobiles de longueur 4, est croissante, et la différence entre une observation x_t et la moyenne mobile mm_t a tendance à augmenter pour une même variation saisonnière : l Les différences entre x₃ et mm₃, entre x₇ et mm₇, entre x₁₁ et c₁₁ augmentent visiblement, de même que les différences entre x₄ et mm₄, x₈ et mm₈, x₁₂ et mm₁₂ etc. (figure 7.8).

Pour quantifier les variations saisonnières, on considère les rapports x_i,j / c_i,j :

pour tout i = 1, …, n

pour tout j = 1, …, p

xi,j / ci,j = 1 + sj + ei,j / ci,j

En considérant que les variations accidentelles e_i,j sont faibles par rapport à la tendance c_i,j et en utilisant l'approximation de la tendance par les moyennes mobiles, on constate donc que les rapports x₃ / mm₃, x₇ / mm₇, x₁₁/mm₁₁, … sont à peu près constants et donnent une approximation de 1 + s₃, de même les rapports x₄ / mm₄, x₈ / mm₈, x₁₂ / mm₁₂ etc. donnent une approximation de 1 + s₄ :

	xi,j
pour tout j = 1, …, p	––––––	=	1 + sj = S j
	mmi,j

Exemple : les tableaux 7.8 et 8.8 ci-dessous contiennent les moyennes mobiles de la série et les rapports x_{i, j} / mm_i,j.

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1			238.210	250.322
Année 2	262.140	274.284	287.670	303.773
Année3	319.494	334.743	352.509	370.167
Année 4	385.759	402.895	422.986	445.525
Année 5	467.090	489.404	516.167	545.210
Année 6	572.761	599.955

Tableau 7.8 : moyennes mobiles de longueur 4 de la série 2

	1^ertrimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1			0.84481	0.99449
Année 2	1.04670	1.09435	0.86524	0.98244
Année3	1.03904	1.10952	0.86078	0.98848
Année 4	1.05411	1.08712	0.85482	0.99847
Année 5	1.04566	1.09629	0.84385	1.00761
Année 6	1.04407	1.09890

Tableau 8.8 : rapports des observations aux moyennes mobiles de la série 2

Les rapports dans chaque colonne du tableau 8.8 sont à peu près constants.

Les rapports x_i,j / mm_i,j sont donc des approximations des termes 1 + s_j que l'on appelle coefficients saisonniers dans le cas du modèle multiplicatif.

Définition : les termes S_j = 1 + s_j du modèle multiplicatif exprimé sous la forme précédente sont appelés coefficients saisonniers du modèle multiplicatif.

On obtient des premières estimations S_j' des coefficients saisonniers en calculant la moyenne (ou la médiane) des rapports figurant dans chaque colonne. Par analogie avec les coefficients saisonniers s_j du modèle additif, dont la moyenne est égale à 0, on cherche des estimations définitives S_j de moyenne 1 :

· on calcule la moyenne :

		1
mS'	=	–––	(S1' + S2' + … + Sp')
		p

· on pose :

pour tout j =1, …, p

Sj = Sj' / mS'

Les coefficients saisonniers estimés S_j sont ainsi de somme p :

		1
S1 + S2 + … + Sp	=	–––	( S1’ + S2’ + … + Sp’ )
		mS’
	=	p

ce qui équivaut à une moyenne des s_j égale à 0 puisque l'on a S_j = 1 + s_j.

Exemple :

· le tableau 8.8 donne les rapports des observations aux moyennes mobiles.

· on en déduit les moyennes suivantes :

S1' = 1.045913

S2' = 1.097236

S3' = 0.8539006

S4' = 0.9942986

· on calcule la moyennes des S_j' : m_S' = .9978371

· les valeurs définitives sont obtenues de façon que les S_j' soient de moyenne 1 :

S1 = 1.04818

S2 = 1.099614

S3 = 0.8557515

S4 = 0.9964539

règle de calcul des estimations des coefficients saisonniers du modèle multiplicatif

· on calcule les rapports des observations aux moyennes mobiles ;

· on calcule la moyenne ou la médiane des rapports S_j’ de chaque colonne du tableau ;

· on calcule la moyenne m_S’ de ces valeurs ;

· on obtient les estimations S_j en posant S_j=S_j’ / m_S’.

2.3 Désaisonnalisation.

Les coefficients saisonniers permettent d'éliminer d'une observation les effets de la variation saisonnière correspondante. On obtient ainsi les valeurs corrigées des variations saisonnières, ou encore les valeurs désaisonnalisées.

L'avantage de cette désaisonnalisation est de permettre la comparaison de deux observations soumises à des variations saisonnières différentes.

définition : on appelle observation corrigée des variations saisonnières la valeur x_i,j' obtenue en éliminant l'effet saisonnier sur la valeur x_i,j.

modèle additif :	xi,j' = xi,j – sj
modèle multiplicatif :	xi,j' = xi,j / Sj

Les valeurs corrigées des variations saisonnières (expression souvent abrégée par c.v.s.) caractérisent à la fois la tendance et la variation accidentelle.

Exemple : on donne ci-dessous les quatre dernières observations de la série 2 (année 6) et les valeurs corrigées des variations saisonnières :

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
observations :	598.00160	659.28960	533.21560	669.26750
valeur c.v.s. :	570.51396	599.56452	623.09629	671.64924

L'observation du deuxième trimestre est largement supérieure à celle du troisième, mais c'est l'inverse pour les valeurs c.v.s. : la tendance est restée croissante au troisième trimestre.

Supposons que l'observation du premier trimestre de l'année 7 soit égale à 720.15. Pour savoir si la tendance est restée à la hausse, on calcule la valeur désaisonnalisée :

x_7,1' = 720.15/1.04818 = 687.04771

et on la compare à la valeur désaisonnalisée du quatrième trimestre de l'année précédente :

x_6,4' = 671.649

La valeur c.v.s. x_7,1' est supérieur à x_6,4'. La tendance est restée à la hausse si la différence est supérieure à la variation accidentelle . Il faudrait donc comparer cette différence à l’écart type des variations accidentelles, calculé sur les données antérieures. Il semble que dans la pratique, cette comparaison ne soit guère effectuée.