5. Tests sur la moyenne et la variance.

Nous supposerons comme dans le chapitre précédent que les observations sont réparties régulièrement et symétriquement par rapport à leur moyenne, plus précisément qu’elles obéissent à la loi normale.

5.1 Tests sur la moyenne.

Le premier test que nous étudions consiste à décider entre les hypothèses suivantes :

H0 : m = m0

H1 : m ¹ m0

La question posée est la suivante : les observations remettent-elles en cause l’égalité de la moyenne théorique m à la valeur spécifiée m₀ ?

Nous avons déjà répondu à cette question dans le chapitre précédent : l’estimation par intervalle de confiance donne l’ensemble des valeurs possibles de la moyenne théorique m compte tenu des observations effectuées et du niveau de confiance choisi.

Règle de décision : pour un risque de première espèce a,

· On accepte l’hypothèse nulle si la valeur m₀ appartient à l’intervalle de confiance de niveau de confiance 1 - a ;

· On rejette l’hypothèse nulle sinon.

Exemple : l’objectif fixé par les responsables nationaux de l’enseigne Euromarket est un montant moyen des achats égal à 420F. Le directeur commercial s’inquiète du montant moyen observé (316.95F) dans son hypermarché et veut donc vérifier si cette valeur montre effectivement une différence. Pour un niveau de confiance de 95%, l’intervalle de confiance est le suivant :

[ 257.173, 376.717 ]

On rejette donc l’hypothèse nulle avec un risque de première espèce de 5% et le montant moyen des achats des clients d’EUROMARKET peut être considéré comme nettement inférieur à la valeur fixée à 420F. L’objectif n’est pas atteint.

Une autre façon (équivalente) d’effectuer le test est de déterminer la région critique. On sait que, si l’hypothèse nulle est vraie, la v.a. T ci-dessous suit la loi de Student de degré de liberté n-1 (cf. chapitre 5):

		M – m0
T	=	^__________
		S/Ö(n-1)

Lorsque la v.a. T prend une très grande valeur, la moyenne m est vraisemblablement différente de m₀ : on rejette l’hypothèse d’indépendance. La région critique est donc de la forme :

]-¥, m₀ - t_a s/(n - 1)^1/2[ È ] m₀ + t_a s/(n - 1) ^1/2 , +¥ [

les bornes de la région critique t_a étant définies par la relation :

P(½T½> t_a ] = a

Le calcul précédent demande que l’on connaisse la valeur vraie de la moyenne, ce qui n’est pas toujours le cas. Par exemple, la moyenne des achats d’un autre hypermarché (410F) peut être connue elle aussi par sondage auprès d’une partie de la clientèle : le test précédent n’est pas applicable pour comparer ces deux moyennes.

On considère maintenant deux v.a. X₁ et X₂, observées sur deux échantillons de taille n₁ et n₂. Les hypothèses sont alors les suivantes, en notant  m₁ et m₂ les moyennes théoriques des achats :

H0 : m1 = m2

H1 : m1 ¹ m2

Le test consiste à déterminer si les observations remettent en cause l’égalité des moyennes m₁ et m₂ .

Le calcul est plus compliqué. On note M₁ et S₁² les estimateurs empiriques de la moyenne et la variance dans le premier échantillon de taille n₁, M₂ et S₂² dans le second échantillon de taille n₂. Le problème est de comparer M₁ et M₂. On calcule pour cela la valeur u de la statistique U :

		M1 - M2
U	=	––––––––––––––––––––
		[S1^2/(n1-1) + S2^2/(n2-1)]^1/2

Une grande valeur absolue de la v.a. U signifie évidemment que M₁ et M₂ ont pris des valeurs très différentes : on rejettera l’hypothèse H₀ d’égalité si la valeur absolue ½u½est trop grande pour que l’égalité des moyennes soit vraisemblable.

Lorsque les moyennes théoriques sont égales et que la taille des échantillons est suffisante, on peut considérer que U suit approximativement la loi normale centrée réduite. On en déduit la valeur u_a en fonction du risque de première espèce choisi , de façon que :

P(½U½> u_a ) =a

Définition : la région critique de la statistique U du test de comparaison de moyennes est de la forme :

RC = ] - ¥, -u_a] U [u_a, + ¥ [

u_a étant calculé de façon que :

P(½U½> u_a ) =a

la v.a. U suivant la loi normale centrée réduite.

Exemple : la moyenne des achats de l’autre hypermarché (410F) a été calculée sur 100 clients. La variance des achats calculée sur ces 100 clients est égale à 35401.01.

On en déduit :

		316.95 – 410
T	=	^__________________________________________	=	– 2.65
		[ 42902.47 / 49 + 35401.01 / 99 ]^1/2

Pour un risque de première espèce a = 0.05, on a u_a = 1.96. La valeur observée t appartient à la région critique ( ç t ç > 1.96) et on rejette donc l’hypothèse nulle : la différence entre les deux moyennes n’est vraisemblablement pas due uniquement au hasard.

Répétons que l’utilisation de ce test est justifiée lorsque les variables suivent la loi normale et que leurs variances théoriques peuvent être considérées comme égales (cf. ci-dessous). Cette dernière condition doit être vérifiée surtout lorsque les échantillons sont de faibles effectifs.

5.2 Tests sur la variance.

Le test d’égalité de la variance d’une population à une valeur spécifiée est lui aussi équivalent à l’estimation par intervalle de confiance.

Il consiste à décider entre les hypothèses suivantes :

H0 : s^2= s0^2

H1 : s^2 ¹ s0^2

La question posée est la suivante : les observations remettent-elles en cause l’égalité de la variance théorique s² à la valeur spécifiée s₀² ?

Règle de décision : pour un risque de première espèce a,

· On accepte l’hypothèse nulle si la valeur s₀² appartient à l’intervalle de confiance de niveau de confiance 1 - a ;

· On rejette l’hypothèse nulle sinon.

établissons la région critique du test. On rejette l’hypothèse nulle lorsque la valeur observée de la variance empirique S² est très différente de la valeur s₀², donc lorsque la v.a. X² = n S²/s₀² prend une valeur anormalement petite (inférieure à c_a²) ou anormalement grande (supérieure à c_1-a²). Les bornes de la région critique c_a² et c_1-a² sont définies par la relation :

P(X^2 < ca^2 ) = a/2

P(X^2 > c1-a^2 ) = a/2

la statistique X² suivant la loi du c² de degré de liberté n-1.

La région critique est donc de la forme :

RC = [0, c_a²] È [c_1-a², + ¥ [

Exemple : nous supposons que la loi de probabilité de la v.a. âge est la loi normale (en éliminant les trois clients retraités) et testons l’hypothèse H₀ : s² =s₀^{2 =} 50.

La valeur observée sur les 47 clients est s² = 47.86. On en déduit :

X² = 47 x 47.86 / 50 = 44.99

Nous choisissons comme risque de première espèce a = 0.05. La table donne directement pour le degré de liberté n = 46 :

ca^2 = 29.160	tel que P(X^2<ca^2 ) =0.025
c1-a^2 = 66.617	tel que P(X^2>c1-a^2 ) =0.025

La région critique est : RC = [0, 29.160 ] È [66.617, + ¥ [. La valeur observée n’appartient pas à la région critique et on accepte l’hypothèse nulle.

En déterminant l’ensemble des valeurs s² telles que l’on accepte l’hypothèse nulle, on retrouvera l’intervalle de confiance déterminé dans le chapitre 5. On pourra examiner aussi la figure 11 du chapitre 5.

De la même façon que nous avons comparé deux moyennes entre elles, nous allons comparer deux variances.

On considère maintenant deux v.a. X₁ et X₂, observées sur deux échantillons de taille n₁ et n₂. On suppose que ces deux v.a. suivent la loi normale et sont indépendantes. Il s’agit de comparer leurs variances s₁² et s₂².

S₁² et S₂² étant les estimateurs empiriques des variances s₁² et s₂², on sait que les v.a. n₁ S₁² / s₁² et n₂ S₂²/s₂² suivent une loi du c² de degré de liberté n₁-1 et n₂-1. Les mathématiques nous donnent la loi du rapport :

Théorème : la loi de la v.a. F ci-dessous est la loi de Fisher de degrés de liberté n₁-1 et n₂-1.

		n1 S1^2 / s1^2		n2 - 1
F	=	^_____________	x	^_______
		n2 S2^2/ s2^2		n1 - 1

Considérons maintenant les hypothèses suivantes :

H0 : s1^2= s2^2 = s^2

H1 : s1^2 ¹ s2^2

Si l’hypothèse nulle est vraie, on a :

		n1 S1^2		n2 – 1		n1 S1^2		n2 S2^2
F	=	^_________	x	^________	=	^_________	/	^________
		n2 S2^2		n1 - 1		n1 - 1		n2 – 1

et F devrait être proche de 1 puisque le numérateur et le dénominateur du rapport ci-dessus sont des estimateurs sans biais de la même variance s². Si la v. a. F prend une très grande valeur ou est très proche de 0, on rejette l’hypothèse nulle. La région critique est de la forme :

RC = ]0, f_a[ È ] f_1-a, + ¥ [

les bornes f_a et f_1-a étant choisies dans la table de Ficher Snedecor de façon que :

P(F< fa) = a/2

P(F> f1-a) = a/2

Exemple : Pour contrôler l’égalité des moyennes des achats des deux hypermarchés, nous avons supposé que les variances théoriques étaient égales. Nous le vérifions ci-dessous, en supposant que les lois sont normales . Les variances observées des achats sont égale à :

s₁² = 42902.47 (n₁ = 50) s₂² = 35401.01 (n₂ = 100)

On en déduit :

		50 x 42902.47 / 49
f	=	^_______________________	=	1.2243
		100 x35401.01 / 99

Nous choisissons comme risque de première espèce a = 0.02. Les degrés de liberté sont n₁ = 49 et n₂ = 99.La table donne directement f_1-a = 1.73.

Pour calculer f_a, il faut considérer la v.a. 1/F , qui suit la loi de Fisher de degrés de liberté n₁ = 99 et n₂ = 49. On a :

P(1/F>1/fa) = 0.01

Û

1/fa = 1.82

Û

fa = 0.549

La région critique est donc : RC = ]0, 0.549 [ ] 1.73, + ¥ [.

La valeur observée n’appartient pas à cette région critique et on accepte l’hypothèse d’égalité des variances.

5.3 Introduction à la fonction puissance.

Définition : on appelle puissance d’un test la probabilité p de rejeter l’hypothèse nulle quand elle est fausse.

La puissance est liée au risque de seconde espèce de façon évidente :

p = 1 – b

puisque le risque de seconde espèce est la probabilité d’accepter l’hypothèse H₀ quand elle est fausse.

Dans les tests présentés précédemment, l’hypothèse alternative n’est pas précisée, et, par suite, on ne peut déterminer analytiquement la loi de probabilité de la v.a. considérée en supposant l’hypothèse alternative vraie. On ne peut donc pas évaluer analytiquement la puissance. Le test sur la variance donne une occasion de présenter simplement la notion de fonction puissance.

Pour définir la puissance du test, nous allons modifier les hypothèses et fixer une valeur s₁² à la variance dans le cas de l’hypothèse alternative. Les hypothèses sont alors les suivantes :

H0 : s^2 = s0^2

H1 : s^2 = s1^2

Nous allons pouvoir maintenant calculer la puissance du test, ou, ce qui est équivalent, le risque de seconde espèce.

On accepte l’hypothèse nulle lorsque la v.a. n S²/s₀² n’appartient pas à la région critique. Le risque b est donc la probabilité de l’événement ci-dessous :

					n S^2
b	=	P	( ca^2	<	––––	<	c1-a^2 )
					s0^2

lorsque la variance de la v.a. X est égale à s₁² .

Lorsque l’hypothèse alternative est vraie, on ne connaît pas la loi de la v.a. n S² / s₀² : c’est la v.a. n S² / s₁² qui suit la loi du c² de degré de liberté égal à n –1. Nous avons :

n S^2		n S^2		s1^2
–––––––	=	–––––––	x	–––––––
s0^2		s1^2		s0^2

On en déduit le risque de seconde espèce :

					n S^2
b	=	P	( ca^2	<	––––	<	c1-a^2 )
					s0^2
					n S^2s1^2
	=	P	( ca^2	<	––––––	<	c1-a^2 )
					s0^2s1^2
			ca^2s0^2		n S^2		c1-a^2s0^2
	=	P	( ––––––	<	––––	<	––––––– )
			s1^2		s1^2		s1^2

On peut calculer cette probabilité lorsque l’hypothèse alternative est vraie puisque la loi de la v.a. n S² / s₁² est connue : c’est la loi du c² de degré de liberté n – 1. On en déduit évidemment la puissance p = 1 – b.

La puissance dépend de deux paramètres : la variance s₁² choisie pour caractériser l’hypothèse alternative, et le risque de première espèce qui intervient dans la région critique. On suppose en général le second fixé, et on définit la fonction puissance comme la fonction qui associe à s₁² la puissance du test.

Il y a un point particulier : pour s₁² = s₀², la fonction puissance est la probabilité de rejeter l’égalité s² = s₀² alors qu’elle est vraie puisque s₁² = s₀². On retrouve donc le risque de première espèce a.

Exemple : nous donnons ci-dessous la fonction puissance du test sur la variance de l’âge. La valeur testée est fixée à s_°² = 50, le risque de première espèce à 0.05, et le nombre d’observations est égal à 47 (cf. exemple précédent). Les valeurs sont données dans le tableau ci-dessous.

La lecture de ce tableau donne le renseignement suivant : la probabilité de rejeter l’hypothèse s₀² = 50 lorsque la vraie valeur est 33.333 est égale à 0.432 pour un risque de première espèce égal à 0.05.

Figure 5.6 : Fonction puissance (s₀² = 50, n = 46, a = 0.05)

Rang	variance vraie	puissance	Rang	variance vraie	puissance
1	20.0000	0.993	11	64.4444	0.263
2	24.4444	0.915	12	68.8889	0.379
3	28.8889	0.699	13	73.3333	0.497
4	33.3333	0.432	14	77.7778	0.606
5	37.7778	0.227	15	82.2222	0.701
6	42.2222	0.109	16	86.6667	0.778
7	46.6667	0.057	17	91.1111	0.839
8	51.1111	0.053	18	95.5556	0.885
9	55.5556	0.090	19	100.0000	0.919
10	60.0000	0.162