Les lois de probabilités discrètes présentées dans ce paragraphe sont les plus courantes. Nous les complétons en exercice par la loi géométrique et donnons les démonstrations des formules dans les compléments.
Définition : la variable X dont les valeurs possibles sont 1, 2, ..., n suit la loi uniforme discrète sur {1, 2, ..., n} si la probabilité pi = P(X=i) est égale à 1/n quel que soit i.
Propriété : l’espérance m et la variance s2 d’une variable qui suit la loi uniforme discrète sur {1, …, n} sont égales à :
Définition : la loi de Poisson de paramètre l strictement positif est la loi d’une v.a. X à valeurs dans N et définie par sa densité :
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e–l li |
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pi = P[X = i] |
= |
–––––––––– |
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1 x 2 x 3... x i |
Le dénominateur de l’expression ci-dessus
est le produit des n premiers nombres entiers et est appelé factorielle i. On
le note i! : i! = 1 x 2 x 3... x i.
Propriété : l’espérance et la variance d’une variable qui suit la loi de Poisson de paramètre l sont égales à l :
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m = E(X) = l |
s2 = V(X) = l |
Les valeurs de la densité sont données dans la table statistique de la loi de Poisson.
Exemple :
Densité de la loi de Poisson pour l = 2.
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i |
P(X=i) |
P(X£i) |
i |
P(X=i) |
P(X£i) |
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0 |
0.135335 |
0.135335 |
7 |
0.003437 |
0.998903 |
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1 |
0.270671 |
0.406006 |
8 |
0.000859 |
0.999763 |
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2 |
0.270671 |
0.676676 |
9 |
0.000191 |
0.999954 |
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3 |
0.180447 |
0.857123 |
10 |
0.000038 |
0.999992 |
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4 |
0.090224 |
0.947347 |
11 |
0.000007 |
0.999999 |
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5 |
0.036089 |
0.983436 |
12 |
0.000001 |
1.000000 |
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6 |
0.012030 |
0.995466 |
13 |
0.000000 |
1.000000 |
Théoriquement la v.a. peut prendre les valeurs
de 0 à + ¥.
Mais la probabilité pi est quasi nulle à partir de i = 13.
On pourra vérifier par le calcul que la moyenne et
la variance sont égales à 2.
C’est le cas général de toutes les v.a.
discrètes prenant une infinité de valeurs : la probabilité devient très
petite et quasi nulle à partir d’une certaine valeur.
On considère un événement E tel que P(E) = p. On a évidemment P(Ec) = 1–p. On définit la v.a. X prenant la valeur 1 si l’événement E est réalisé, 0 sinon. La v.a. X est appelée indicatrice de E. Elle suit par définition la loi de Bernoulli de paramètre p.
Définition : on dit qu’une v.a. X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si c’est la variable indicatrice d’un événement E de probabilité p. Elle prend les valeurs 0 ou 1 avec les probabilités suivantes :
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P ( X= 0) = 1 – p |
P(X = 1) = p |
On a :
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m = E(X) = p |
s2 = V(X) = p (1 – p) |
Définition : on appelle variable binomiale de paramètres n et p la v.a. définie par le nombre de réalisations d’un événement de probabilité p au cours de n tirages indépendants.
Une variable binomiale peut être considérée comme la somme de n v.a. Xi indicatrices d’événements Ei indépendants et de probabilité p :
X = X1 + X2 + … + Xi + … + Xn
La densité de la v.a. est donnée par la formule :
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1 x 2 x 3 x .. x n |
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pi = P(X = I ) = |
_________________________________________ |
(1 – p)n – i pi |
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(1 x 2 x 3 x .. x i) x (1 x 2 x 3 x ... x [n– i]) |
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On écrit, en utilisant la notation factorielle définie dans le paragraphe sur la loi de Poisson (on pose par convention 0! = 1, et on rappelle que x0 = 1 quelle que soit la valeur x) :
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n! |
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pi = P(X = i ) = |
__________ |
(1 – p)n – i x pi |
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i! [n– i]! |
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On retrouve dans cette formule le nombre de combinaisons de i éléments pris parmi n et noté Cni (un rappel d’analyse combinatoire est donné dans les compléments).
La densité de la loi binomiale B(n,p) est finalement la suivante :
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quel que soit i de 0 à n |
pi = Cni
(1 – p)n – i x pi |
L’espérance et la variance sont données par les formules ci-dessous :
Remarque : Les valeurs de la densité sont données dans la table statistique de la loi binomiale. Pour p = 0.3 et n = 5, on a :
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i |
P(X=i) |
P(X£i) |
i |
P(X=i) |
P(X£i) |
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0 |
0.168070 |
0.168070 |
3 |
0.132300 |
0.969220 |
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1 |
0.360150 |
0.528220 |
4 |
0.028350 |
0.997570 |
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2 |
0.308700 |
0.836920 |
5 |
0.002430 |
1.000000 |
Pour les valeurs de n telles que n p >5 et n (1 – p ) >5, on peut utiliser une approximation par la loi normale : la probabilité P(X = i) où X suit la loi binomiale B(n,p) a pour valeur approchée la probabilité P( i – 0.5 < Y < i + 0.5) où Y suit la loi normale de paramètre m = n p et s2 = n p (1 – p). On se reportera au paragraphe 4.3.