4. Lois de probabilité continues.

Nous ne définissons ci-dessous que les lois continues les plus couramment utilisées en statistique. Les démonstrations des formules d’espérance et de variance sont données dans les compléments.

4.1 Loi uniforme continue.

Définition : la densité de la loi uniforme continue sur un intervalle ] a, b [ est définie par la fonction f(x) :

Pour x Î ] a, b[	f(x) = 1/(b–a)
Pour x £ a ou x ³ b	f(x) = 0

Les bornes a et b peuvent être incluses ou exclues de l’intervalle : elles sont de probabilité nulle et cela ne change rien.

Un exemple d’une telle variable est donné par la touche « rnd » ou « random » qui figure sur un grand nombre de calculatrices : à chaque pression de cette touche, on obtient un nombre compris entre 0 et 1, et la densité de cette variable aléatoire est la loi uniforme sur l’intervalle ] 0, 1 [.

Propriétés :

· La moyenne m et la variance s² théoriques d’une loi uniforme continue sur ] a, b [ sont égales à :

	a + b		(b – a )²
m =E(X) =	–––––	s² = V(X) =	––––––
	2		12

· La probabilité d’un intervalle [ x₁, x₂ ], avec a £ x₁£ x₂ £ b suivant la loi uniforme continue sur ] a, b [ est égale à :

P( X Î] x₁, x₂ ]) = (x₂ – x₁)/(b – a)

Exemple : on considère la loi uniforme continue sur ]0, 2[.

La densité est définie par la fonction f(x) :

pour x Î ] 0, 2[	f(x) = 1/2
pour x £ 0 ou x ³ 2	f(x) = 0

Sur la figure 7, la probabilité de l’événement X Î ] x₁, x₂ ] est l’aire du rectangle représenté en gris. Elle est égale évidemment à P (X Î [ x₁, x₂ ]).

4.2 Loi exponentielle.

La loi exponentielle est la loi de l’intervalle aléatoire séparant deux événements successifs : en cela, elle est utilisée conjointement avec la loi de Poisson pour l’analyse des files d’attente. Son expression mathématique utilise la fonction exponentielle dont une présentation est donnée dans les compléments.

Définition : on appelle loi exponentielle de paramètre a>0 et x₀ Î R la loi de probabilité dont la densité est donnée par la fonction suivante :

		–a (x – x₀)
pour tout x ³ x₀	f(x) = a e
pour tout x < x₀	f(x) = 0

Il n’existe pas de table statistique donnant les valeurs de la fonction de répartition F(x) dans le cas de la loi exponentielle. Une simple calculatrice suffit puisque l’on a :

		–a (x – x₀)
F(x) = 1 –	e

Propriété : la moyenne m et la variance s² théoriques sont égales à :

m = E(X) = x₀ + 1/a

s² = V(X) = 1/a²

Nous donnons en figure 8 la représentation graphique de cette densité pour a = 2 et
x₀= 0. La probabilité de l’intervalle [ 1, 1.5] indiqué sur la figure est l’aire de la région comprise entre les deux segments. Elle est égale à F(x₂) – F(x₁), où F est la fonction de répartition. On a donc :

		–( x₁ – x₀)		–( x₂ – x₀)
P(XÎ ] x₁, x₂] ) =	e		– e

4.3 Loi normale.

La loi normale est une densité théorique donnant la répartition d’une infinité d’observations sous la forme d’une courbe dite courbe en cloche (fig ure 9) à laquelle nous avons déjà fait référence dans les chapitres antérieurs. Elle est appelée aussi loi de Laplace-Gauss. Elle fait intervenir deux paramètres m et s (p = 3.1415…évidemment).

Définition : on appelle loi normale de paramètres m Î R et s > 0 la loi de probabilité dont la densité est définie par la fonction suivante :

	1		– ½ [ (x – m)/s ]²
f(x) =	^{_____________}	e
	s [ 2 p ]^1/2

Propriétés :

· Les paramètres m et s² sont la moyenne et la variance de la loi normale.

· Si X suit la loi normale de moyenne m et de variance s², la loi de (X – m)/s est la loi normale de moyenne 0 et de variance 1. La v.a. (X – m)/s est centrée et réduite.

Les zones grisées sur la figure 9 correspondent aux valeurs ±1.96 ; elles ont chacune pour aire 0.025, ou 2.5%. On retrouve la première règle de classification des valeurs observées proposée dans le chapitre 2 :

P[ m – 1.9600 s < X < m + 1.9600 s ]	= 0.95
P[ m – 1.6449 s < X < m + 1.6449 s ]	= 0.90
P[ m + 1.0364s < X < m + 1.0364 s ]	= 0.70
P[X < m – 1.9600s ]	= 0.025
P[X > m + 1.9600 s ]	= 0.025
P[X > m + 1.6449 s ]	= 0.050
P[X < m – 1.6449 s ]	= 0.050
P[X > m + 1.0364 s ]	= 0.150
P[X < m – 1.0364 s ]	= 0.150

L’importance de la loi normale est considérable en statistique : on la rencontre très fréquemment dans les applications et elle possède des propriétés fondamentales dont la plus importante est connue sous le nom de « theorem central limit », ou, en français, théorème de la limite centrale (on dit aussi centrée), que nous énonçons dans le chapitre suivant.

4.4 Loi du c² et loi de Fisher.

La loi du c² (du Chi²) de Pearson est la loi d’une v.a. notée souvent X² (il ne s’agit pas du carré d’une v.a. X) et définie par la somme de carrés de v.a. indépendantes suivant la loi normale centrée réduite X₁, X₂, …, X_n:

X² = X₁² + X₂² + … + X_n²

Le nombre n de ces v.a. normales et appelé degré de liberté. L’espérance de X² est égale à n et sa variance à 2 n. On notera que la densité n’est pas symétrique (figure 10).

Les zones grisées correspondent aux valeurs 31.55 et 70.22 ; elles ont pour aire 0.025 (ou 2.5%). La probabilité qu’une variable qui suit la loi du c² de degré de liberté n = 49 soit comprise entre 31.55 et 70.22 est donc égale à 0.95.

La loi de Fisher (ou Fisher Snedecor) est la loi de probabilité du rapport F de deux variables X₁² et X₂² suivant chacune la loi du c² de degré de liberté n₁ et n₂, et divisées par ces degrés de liberté :

	X₁² / n₁
F =	–––––––––
	X₂² / n₂

On notera que si F suit la loi de Fisher de degrés de liberté n₁ et n₂, 1/F suit la loi de Fisher de degrés de liberté n₂ et n₁.

Ces lois sont utilisées pour effectuer des estimations par intervalle de confiance et des tests d’indépendance (cf. paragraphe 5 .3 et chapitres suivants)

4.5 Loi de Student.

La loi de Student est la loi d’une v.a. notée T définie par le rapport d’une v.a. X suivant la loi normale centrée réduite et de la racine carrée d’une v.a. X²suivant la loi du c² et divisée par son degré de liberté :

	X
T =	––––––
	[X²/n]^1/2

Elle dépend de ce degré de liberté noté n. Elle est symétrique, de moyenne nulle, de variance n/(n – 2). Sa d ens ité (figure 11) est une fonction compliquée dont l’expression ne présente pas d’intérêt ici. Lorsque le degré de liberté n augmente (n>120), la loi de Student est confondue avec la loi normale centrée réduite.