Exercices sur le chapitre 8

1. analyse de la tendance par les moyennes mobiles.

On considère les séries chronologiques ci-dessous (fichier ex1chap8.par) :

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xt	102.26	103.38	102.82	103.14	103.19	104.33	103.57	103.81	105.98	106.26
t	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xt	105.26	107.18	108.04	107.86	107.80	108.41	107.80	110.78	108.12	110.69

Série X

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	100.32	99.11	99.40	104.39	102.33	104.71	105.45	104.07	105.90	108.26
t	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
yt	108.64	109.90	110.45	112.43	113.91	116.07	116.41	119.89	120.16	123.74

Série Y

1) Représenter graphiquement ces deux séries chronologiques. Existe-t-il des variations saisonnières ? Que peut-on dire des tendances ?

2) Calculer les moyennes mobiles de longueur 5 de la série X, et les moyennes mobiles de longueur 7 de la série Y. Les représenter graphiquement sur le graphique précédent. Comparer chaque série à celle de ses moyennes mobiles.

3) Ajuster la série X par une droite. étudier les résidus et conclure.

4) Ajuster la série Y par une droite et par un polynôme de degré 2. étudier les résidus et conclure.

2. Description et désaisonnalisation d’une série.

Les deux séries chronologiques ci-dessous donnent un indice trimestriel de production x_t et un indice trimestriel de consommation d’énergie y_t d’une usine du groupe Mich&Lin de 1998 à 2001 :

1) Calculer les moyennes mobiles de façon à visualiser la tendance de chaque série.

2) Choisir un modèle pour chacune de ces séries.

3) Calculer les coefficients saisonniers de la productivité suivant le modèle choisi.

· on suppose que x_5,1 est égale à 104.05. La comparer à l'observation x_4,4.

· on suppose que x_5,2 est égale à 123.12. La comparer à l'observation x_4,4.

4) Calculer les coefficients saisonniers de la consommation d’énergie suivant le modèle choisi.

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1	86.87944	110.9876	107.0395	99.15375
Année 2	96.05067	117.4270	110.3310	105.5378
Année3	103.9236	120.8415	116.4962	104.3187
Année 4	101.3419	124.5749	117.3786	111.8404

Indice de productivité (base 100 : année 1995)

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1	194.6345	239.5826	206.1430	274.2622
Année 2	238.7344	294.5928	247.0071	335.1415
Année3	288.4445	355.6006	306.0863	411.2641
Année 4	352.7192	434.5286	369.4310	497.9561

Indice de consommation d’énergie (base 100 : année 1995)

5) On considère toujours l’indice de consommation d’énergie. Calculer le nombre x_a,1 tel que :

· si x_5,1 > x_a,1, la tendance reste analogue.

· si x_5,1 < x_a,1, on peut penser que la tendance s'inverse.

3. Recherche de modèles et désaisonnalisation.

On considère les séries chronologiques trimestrielles suivantes (fichier de paramètres chrosim.par du cédérom) :

	1	2	3	4		1	2	3	4
1	115.9	106.1	89.5	99.3	1	229.8	266.1	202.8	207.9
2	121.2	107.8	91.3	101.5	2	272.1	323.8	248.6	244.9
3	120.1	113.5	97.0	107.0	3	329.8	402.9	309.8	310.8
4	129.5	116.6	102.5	108.4	4	401.8	474.3	382.1	372.7
5	132.4	122.3	105.5	111.8	5	499.6	593.5	449.7	470.5
6	137.5	124.0	111.9	119.6	6	593.2	714.8	563.8	566.6
		Série	1				Série	2

I. On suppose que la série 1 suit le modèle additif de période 4.

1) Calculer les moyennes mobiles manquantes. Le modèle additif est-il vraisemblable ?

2) En déduire les coefficients saisonniers. On justifiera rapidement les choix effectués.

3) Les observations de l’année 7 sont les suivantes :

7

138.5

126.0

119.9

129.6

Calculer les valeurs désaisonnalisées. Que peut-on dire de la tendance ?

II. On considère maintenant la série 2.

1) Le modèle multiplicatif est-il vraisemblable ? Calculer les coefficients saisonniers suivant ce modèle.

2) Quelles sont les propriétés que la série doit posséder pour qu’on puisse effectuer des prévisions par le filtre de Buys Ballot ? Les résultats numériques de l’ajustement sur les observations initales sont les suivants :

Coeff. de régression b	=	19.12196	Coeff.constant	=	153.9713
Coeff. de corrélation r	=	0.98597	Variance des résidus S²	=	538.6254
s1	=	23.40378	s2	=	79.13182
s3	=	-43.09015	s4	=	-59.44545

Effectuer les prévisions pour l’année 7 et comparer aux observations données ci-dessous :

7

683.2

788.8

653.8

656.6

4) Compléter le tableau des résidus obtenus à l’issue de l’ajustement. Quel est le coefficient de corrélation entre les résidus et le temps t ? Conclure en examinant la représentation graphique des résidus.

Série 1

	1	2	3	4
1			103.362	104.237
2	104.675	105.175	105.312	105.887
3	107.312	108.712	110.575	112.137
4	113.212	114.075	114.612	115.687
5	116.775	117.575	118.637	119.487
6	120.500	122.275

Moyennes mobiles de la série 1 (longueur 4)

	1	2	3	4
1			-13.862	-4.937
2	16.525	2.625	-14.012	-4.387
3	12.787	4.787	-13.57	-5.137
4	16.287	2.525	-12.112	-7.287
5	15.625	4.725	-13.137	-7.687
6	17.000	1.725

Différences entre observations et moyennes mobiles

Série 2

	1	2	3	4
1			231.937	244.437
2	257.375	267.725	279.562	296.662
3	314.200	330.087	347.325	365.250
4	383.212	399.987	419.950	447.075
5	470.425	491.100	515.025	541.887
6	571.312	597.587

Moyennes mobiles de la série 2 (longueur 4)

	1	2	3	4
1			0.874	0.850
2	1.057	1.209	0.889	0.825
3	1.049	1.220	0.891	0.850
4	1.048	1.185	0.909	0.833
5	1.062	1.208	0.873	0.868
6	1.038	1.196

Rapports des observations aux moyennes mobiles

	1	2	3	4
1		-5.247	34.553	36.886
2	-0.884		3.865	-2.601
3	-19.672	-21.422	-11.422	-13.189
4	-24.160	-26.510		-27.777
5	-2.848	16.201	-24.498	-6.465
6	14.263	61.013	13.113

Résidus (filtre de Buys Ballot)

	1	2	3	4
1			20.600	13.978
2	7.794	-0.978	-8.263	10.284
3	11.869	15.103	16.988	18.185
4	19.344	21.691	20.851	12.848
5	-8.620	-7.067	-2.264	5.477
6	15.780	22.933

Moyennes mobiles des résidus (longueur 4)

4. Filtre de Buys Ballot.

Nous étudions ici la série 2 du chapitre 8 par le filtre de Buys Ballot (fichier de paramètres chro2.par). On utilisera un tableur pour effectuer les calculs.

1) Calculer les moyennes annuelles. En déduire l’équation de la droite de régression sur les moyennes annuelles par le temps, la moyenne de l’année 1 étant fixée à l’instant t = 2.5, de l’année 2 à l’instant t = 6.5 etc.

2) La tendance étant définie par cette droite, calculer les coefficients saisonniers non centrés suivant le modèle additif. Calculer la moyenne des coefficients saisonniers, et en déduire l’équation finale du modèle en ajoutant la moyenne des coefficients saisonniers à la constante de la droite de régression et en centrant les coefficients saisonniers. On admettra que l’on obtient ainsi les coefficients estimés du filtre de Buys Ballot.

3) Compléter le tableau des résidus donnés ci-dessous. Calculer la moyenne des résidus de chaque trimestre. En déduire leur moyenne totale et leur variance.

4) Calculer la variance totale des observations x_t. Déduire de cette variance et de celle des résidus le carré du coefficient de corrélation entre les valeurs observées et les valeurs estimées par le modèle. Que peut-on dire de la qualité de l'ajustement ?

5) Construire l'histogramme de leur répartition en 5 classes de même amplitude. Peut-on considérer que cette répartition est à peu près gaussienne ? (on se limitera à une interprétation graphique).

6) Calculer les moyennes annuelles des résidus. Représenter simultanément les résidus et ces moyennes, que l'on reportera en ordonnées, l'axe des abscisses représentant le temps. Que sait-on du coefficient de corrélation entre les résidus et le temps ? Que peut-on dire de la représentation graphique ?

7) Calculer les prévisions de chaque trimestre de l'année 7 de la série 2. Quel degré de confiance peut-on leur accorder compte tenu de l'ensemble des informations précédentes ?

Annexe :

Somme des et^2	=	12 757.6968
Somme des valeurs xt	=	9543.125
Somme des xt^2	=	4 235 716

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1	26.39756	16.15911	43.24036	8.80333
Année 2		-12.68653	15.17342	-17.42781
Année3			-6.02771	-25.69215
Année 4	-18.52625	-26.31120		-22.47899
Année 5	-12.47089	-3.50974	-25.34649
Année 6	21.38547	43.52442	-3.42933	50.48654

Résidus obtenus après ajustement de la série 2
par le filtre de Buys Ballot

5. Modélisation et prévision de ventes des Trois Redoutes.

Le chiffre d’affaires trimestriel de l’entreprise de ventes par correspondance Les Trois Redoutes est donné dans le tableau ci-dessous, avec comme base 100 celui de de l’année 1990 (le calcul de l’indice est effectué en francs constants).

		1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
1997	1	90.53	94.73	104.94	110.28
1998	2	92.46	96.18	103.49	114.17
1999	3	86.09	99.60	103.97	111.46
2000	4	90.27	96.35	106.06	116.49
2001	5	91.83	97.75	103.76	115.61

Commande trimestrielle des Trois Redoutes (1997-2001)

1) Choisir un modèle à l’aide de la représentation graphique et des résultats numériques partiels.

2) On choisit le modèle additif. En déduire les coefficients saisonniers. La commande au premier trimestre de l’année 2002 est égale à 94.51. La comparer à la commande du trimestre précédent.

3) On choisit le modèle multiplicatif. Même question.

4) On décide d’utiliser le filtre de Buys Ballot pour effectuer des prévisions. Est-ce la méthode adaptée dans le cas de ces données ? Calculer l’équation de la droite de régression et les coefficient saisonniers s_j. En déduire les commandes prévues pour chaque trimestre de l’année 2002.

5) Quelle est la moyenne des résidus ? Leur variance ? Que peut-on dire de la prévision du premier trimestre 2002 et de la valeur observée donnée en question 2 ?

Annexe

	1^er trim.	2^e trim.	3^e trim.	4^e trim.
1				100.78375
2	100.78375	101.08875	100.77875	100.41000
3	100.89125	100.60625	100.79000	100.90625
4	100.76750	101.66375	102.48750	102.85750
5	102.74500

Moyennes mobiles

	1^er trim.	2^e trim.	3^e trim.	4^e trim.
1			4.57875	9.49625
2	-8.32375	-4.90875	2.71125	13.76000
3	-14.80125	-1.00625	3.13000	10.55375
4	-10.49750	-5.31375	3.57250	13.63250
5		-4.59750

Différences Observations - Moyennes mobiles

	1^er trim.	2^e trim.	3^e trim.	4^e trim.
1			1.04562	1.09422
2	0.91741	0.95144	1.02690	1.13704
3	0.85330	0.99000	1.03105	1.10459
4	0.89582	0.94773	1.03486	1.13254
5		0.95508

Rapports Observations / Moyennes mobiles

	par année		par trimestre
1	100.12000	1	90.23600
2	101.57500	2	96.92200
3	100.26750	3	104.43400
4	102.29250	4	113.60200
5	102.23750
Moyennes annuelles		trimestrielles

	1^er trim.	2^e trim.	3^e trim.	4^e trim.
1	1.2845		1.4965	-2.3315
2	2.7192	-0.2468	-0.4488	1.0632
3	-4.1460	2.6780	-0.5140	-2.1420
4	-0.4612	-1.0672	1.1308	2.3928
5	0.6035	-0.1625	-1.6645	1.0175

Résidus du filtre de Buys Ballot

6. Le Premier Jour.

La société « Le Premier Jour » commercialise par correspondance et par l’intermédiaire de magasins d’exposition des vêtements, des accessoires et des services (photographies, repas, bals …) pour cérémonies (mariages, naissances, baptêmes, communions…). Elle envisage d’étendre son réseau dans la région Centre, et étudie auparavant le nombre trimestriel de mariages pour évaluer le marché à venir.

Les observations sont connues de 1982 à 1986 : nous les étudions jusqu’en 1985 pour pouvoir effectuer les prévisions de l'année 1986 et les comparer aux valeurs réelles.

	1^er trim.	2^e trim.	3^e trim.	4^e trim.
1982	1357	3818	4814	2255
1983	1342	3672	4634	2086
1984	1315	3765	4220	1745
1985	1160	3605	4211	1641

1986

1080

3481

4340

1640

Tableau 1 : nombres trimestriels de mariages dans la région Centre
de 1972 à 1986

1) Représenter simultanément les observations et les moyennes mobiles de longueur 4 (figure 9). Quelle est la période des variations saisonnières ? Choisir le modèle et préciser la nature de la tendance.

2) On décide d’ajuster la série par le filtre de Buys Ballot. Calculer l’équation de la droite de régression, les coefficients saisonniers, le coefficient de corrélation et la variance des résidus.

3) Construire un histogramme des résidus. Calculer leur coefficient d’autocorrélation. Conclure sur la validité du modèle.

4) En déduire les prévisions pour l’année 1986 que l’on comparera aux observations réelles.