Exercices sur le chapitre 4
On note dans ce texte EC l’événement contraire de E.
1) Calculer en fonction des probabilités P(A), P(B) et P(AÇB) les probabilités suivantes : P(AÈBC), P(ACÇB), P(ACÇBC), P(ACÈBC)
2) On considère une suite d’événements Ai, i = 1 …, n. disjoints deux à deux.
Soit A = A1 È A2 È … È An
Montrer la relation suivante :
|
P(A) = |
P(A1) + P(A2) + … + P(An) |
On considère une urne dans laquelle se trouve 10 boules rouges et 20 boules bleues.
1) On tire des boules une par une en les remettant dans l’urne à chaque fois. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge à chaque tirage ? Quelle est la probabilité que la première boule rouge tirée soit la seconde ? La troisième ? La nième ?
2) Calculer la probabilité que, parmi les n premières boules tirées, il y ait au moins une boule rouge. En déduire la formule ci-dessous :
|
n-1 |
|
|
S |
1/3 x [2/3]i = 1 – [2/3]n |
3) Calculer n telle que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge en tirant n boules soit supérieure ou égale à 0.95.
1) On considère p objets numérotés de1 à p et n boîtes numérotées de 1 à n. On suppose p = n = 4. Calculer le nombre de façons de les ranger dans les boîtes. Donner la formule générale et effectuer le calcul pour p = 5, p = 10, p=20, p=100.
2) On suppose maintenant que le nombre de boîtes est différent du nombre d’objets. Calculer pour p = 3 et n = 5 le nombre de façons de ranger les objets dans les boîtes. Donner la formule générale et effectuer le calcul pour (i) p = 4, n = 6, (ii) p = 4, n = 7, (ii) p = 5, n = 8.
3) On suppose toujours p = 3 et n = 5. On choisit trois boîtes parmi les 5 dans lesquelles on place 3 objets. Combien y-a-t-il de façons de ranger ces trois objets dans les trois boîtes choisies ? Que peut-on dire si l’on choisit trois autres boîtes ? En déduire le nombre C53 de façons de choisir trois boîtes parmi les 5. Généraliser au cas de n boîtes et de p objets.
4) Calculer C62, C64, C108, C102. Montre la formule ci-dessous :
Cnp
= Cnn-p
Calculer C42, C43, C53, C73, C74, C84. Montrer la formule ci-dessous :
Cnp
+ Cnp+1 = Cn+1p+1
5) On considère un ensemble E comportant n éléments. En étudiant pour chaque terme la possibilité d’appartenir ou non à un sous-ensemble F de E, montrer que le nombre de sous-ensembles de F est égal à 2n. En déduire la relation :
|
n |
|
|
S |
Cnk = 2n |
|
k = 0 |
|
On considère un exercice E comportant une question proposant 5 réponses dont une seule est la bonne. On suppose que r1 est la bonne réponse, r2, r3, .., r5 les mauvaises et on note R la réponse donnée par un élève. On caractérise :
· le mauvais élève par celui qui tire au hasard la réponse suivant la loi uniforme ;
· l’élève moyen par celui qui donne la bonne réponse une fois sur deux, les mauvaises réponses étant de même probabilité ;
· le bon élève par celui qui donne la bonne réponse avec une probabilité de 0.9, les mauvaises réponses étant de même probabilité .
Les réponses dépendent du hasard et peuvent donc être considérées comme des variables aléatoires.
1) Calculer les probabilités P(R = rj) de chaque réponse pour chaque type d’élève.
2) On suppose que les élèves Jean et Jacques répondent au hasard suivant des probabilités d1, d2, d3, d4, d5 pour Jean , t1, t2, t3, t4, t5 pour Jacques. Calculer la loi de probabilité du couple (Rd, Rt) lorsque Jean est un bon élève et Jacques un moyen.
3) En déduire la probabilité que les deux élèves donnent la même réponse sans tricher, c’est-à-dire de façon indépendante l’un de l’autre. Calculer numériquement cette probabilité suivant le profil de chaque élève.
4) On considère maintenant une liste de n exercices de ce type . Soit X le nombre d’exercices auxquels Jean et Jacques ont répondu de la même façon. Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer la probabilité que sans tricher, Jean et Jacques donnent une réponse identique dans au moins 10 exercices sur 20 dans chaque cas précédent.
5) Jean et Jacques ont fourni au moins 10 fois la même réponse sur les 20 questions. Est-ce vraisemblable s’ils n’ont pas triché ?
6) On sait a priori que Jean est bon et que Jacques est moyen. A partir de combien de réponses identiques peut-on considérer qu’ils ont triché ?
On donne ci-dessous des valeurs numériques x d’une v.a. X
(fichier EX2CHAP4.PAR et EX2CHAP4.DAT du cédérom).
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
|
3 |
6 |
3 |
4 |
1 |
6 |
1 |
7 |
2 |
6 |
3 |
5 |
1 |
6 |
7 |
4 |
3 |
1 |
4 |
5 |
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2 |
5 |
2 |
4 |
2 |
3 |
6 |
4 |
1 |
2 |
3 |
6 |
3 |
5 |
1 |
5 |
2 |
3 |
4 |
6 |
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1 |
5 |
4 |
5 |
2 |
5 |
0 |
5 |
2 |
6 |
1 |
4 |
1 |
5 |
6 |
5 |
2 |
5 |
4 |
5 |
|
1 |
5 |
3 |
3 |
1 |
1 |
4 |
4 |
3 |
2 |
0 |
4 |
2 |
3 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
6 |
|
1 |
6 |
0 |
6 |
3 |
2 |
4 |
6 |
3 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
2 |
6 |
1 |
3 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
0 |
5 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
4 |
0 |
5 |
1 |
3 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
4 |
|
2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 |
7 |
4 |
5 |
5 |
3 |
1 |
4 |
1 |
5 |
4 |
2 |
1 |
4 |
|
2 |
6 |
4 |
5 |
2 |
6 |
3 |
5 |
3 |
5 |
0 |
6 |
2 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
5 |
5 |
|
1 |
4 |
2 |
3 |
4 |
6 |
2 |
4 |
2 |
1 |
0 |
7 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
3 |
5 |
7 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
3 |
3 |
8 |
6 |
1 |
4 |
3 |
5 |
3 |
6 |
0 |
6 |
0 |
1 |
3 |
5 |
|
3 |
5 |
6 |
3 |
2 |
5 |
4 |
5 |
2 |
2 |
5 |
6 |
3 |
4 |
3 |
7 |
4 |
2 |
4 |
6 |
|
2 |
5 |
7 |
3 |
2 |
4 |
1 |
6 |
3 |
3 |
5 |
5 |
2 |
1 |
3 |
5 |
0 |
5 |
4 |
6 |
|
2 |
3 |
3 |
5 |
5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
5 |
4 |
4 |
1 |
6 |
1 |
5 |
2 |
5 |
1 |
6 |
|
2 |
3 |
5 |
5 |
1 |
6 |
4 |
6 |
1 |
6 |
4 |
4 |
2 |
2 |
0 |
3 |
4 |
4 |
1 |
4 |
|
1 |
3 |
0 |
6 |
3 |
6 |
2 |
5 |
2 |
2 |
5 |
5 |
2 |
5 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5 |
6 |
|
1 |
5 |
0 |
5 |
2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
6 |
4 |
4 |
4 |
3 |
4 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
|
1 |
2 |
7 |
5 |
0 |
1 |
2 |
4 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
5 |
3 |
5 |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
0 |
5 |
3 |
4 |
2 |
5 |
5 |
5 |
3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
3 |
2 |
5 |
|
2 |
4 |
7 |
2 |
0 |
2 |
3 |
6 |
1 |
2 |
8 |
6 |
1 |
5 |
5 |
5 |
2 |
2 |
4 |
5 |
|
2 |
3 |
1 |
7 |
3 |
4 |
4 |
6 |
2 |
5 |
5 |
5 |
3 |
4 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
6 |
Quelle est la loi de X parmi celles qui sont proposées dans chaque cas ?
X1 : loi binomiale B(5,0.4), loi de Poisson P(1.5), loi uniforme discrète sur {1, …, 5}
X2 : loi binomiale B(6,0.8), loi de Poisson P(3), loi uniforme discrète sur {1, …, 6}
X3 : loi binomiale B(8,0.4), loi de Poisson P(3), loi uniforme discrète sur {1, …, 4}
X4 : loi binomiale B(7,0.7), loi de Poisson P(5), loi uniforme discrète sur {1, …, 9}
On pourra, pour répondre à la question dans chaque cas, comparer (1) les fréquences observées aux probabilités théoriques ou (2) les moyennes et variances observées aux moyennes et variances théoriques.
1) On considère une variable aléatoire discrète prenant les n valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On pose : q0 = 0, q1 = p1, q2 = p1+p2, …, qn = p1 + p2 + … + pn.
Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme continue sur l’intervalle [0, 1] et X la variable aléatoire définie par :
X = xi si U Î [qi-1, qi [.
Calculer la densité de la v.a. X.
2) On considère une v.a. X dont la fonction de répartition F(x) est égale à :
|
F(x)= 0 si x < 0 |
F(x) = x2/4 si x Î [0, 2] |
F(x) = 1 si x>2 |
Calculer la densité de la v.a. X. Soit Z la v.a. définie par Z = X2/4. Calculer la fonction de répartition de Z. En déduire la loi de Z et définir une réalisation x de la v.a. X en fonction d’une réalisation z de Z.
3) étudier le cas général en utilisant la notion de fonction réciproque.
On donne ci-dessous les répartitions des hommes et des femmes suivant leur pointure :
Femmes
|
Pointure |
% |
Pointure |
% |
|
35 |
3.333 |
39 |
30.000 |
|
36 |
8.889 |
40 |
6.667 |
|
37 |
16.667 |
41 |
3.333 |
|
38 |
27.778 |
42 |
3.333 |
Hommes
|
Pointure |
% |
Pointure |
% |
|
38 |
3.333 |
42 |
37.778 |
|
39 |
4.444 |
43 |
14.445 |
|
40 |
8.889 |
44 |
4.444 |
|
41 |
23.334 |
45 |
3.333 |
1) Quelle est la probabilité qu’une femme chausse du 41 ou plus ? Un homme ? La pointure de quelqu’un est de 39. Est-il plus vraisemblablement de sexe féminin ou masculin ?
2) On suppose qu’il y a autant d’hommes que de femmes à se promener sur une plage. Une trace de pas montre qu’un passant chaussant du 40 est passé. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? Un homme ?
3) On suppose maintenant qu’il y a deux fois plus de femmes que d’hommes à se promener sur la plage. Quelle est la probabilité que le passant chaussant du 40 soit une femme ? Un homme ?
On considère une population infinie dont une proportion p est constituée de femmes. Chaque personne arrive à un guichet de manière aléatoire et indépendamment des autres.
1) Soit E l’événement « la personne qui se présente au guichet est une femme ». Quelle est la probabilité de E ?
2) On suppose maintenant que n personnes se sont présentées au guichet. Quelle est la loi du nombre de femmes parmi les n qui se sont présentées au guichet ?
3) Soit K le rang de la première femme se présentant au guichet. Quelle est la probabilité que K = 1 ? Que K = 2 ? Que K = k (0 < k £ n)? Qu’aucune femme ne se soit présentée au guichet parmi les n personnes (on notera cet événement K = 0) ?
4) On suppose maintenant que n tend vers l’infini. La loi de probabilité de K est appelée loi géométrique. Que peut-on dire de la probabilité P( K=0 ) ? Montrer que la moyenne théorique de K est égale à m = 1/p et la variance théorique à s2 = 1/p2 – 1/p.
5) On donne ci-dessous des échantillons de 100 observations de loi discrète. Déterminer ceux qui peuvent provenir d’une loi géométrique dont on calculera le paramètre p.
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
1 |
3 |
10 |
6 |
1 |
3 |
4 |
51 |
2 |
10 |
6 |
5 |
26 |
5 |
|
2 |
1 |
6 |
6 |
1 |
1 |
7 |
52 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
6 |
5 |
1 |
3 |
2 |
53 |
3 |
5 |
5 |
1 |
6 |
3 |
|
4 |
6 |
5 |
7 |
1 |
3 |
3 |
54 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
|
5 |
1 |
4 |
7 |
1 |
7 |
1 |
55 |
1 |
7 |
2 |
2 |
7 |
1 |
|
6 |
2 |
8 |
4 |
1 |
8 |
3 |
56 |
4 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
|
7 |
0 |
7 |
6 |
1 |
3 |
6 |
57 |
1 |
10 |
3 |
2 |
4 |
2 |
|
8 |
2 |
10 |
7 |
1 |
10 |
1 |
58 |
3 |
1 |
5 |
2 |
2 |
3 |
|
9 |
2 |
1 |
8 |
2 |
3 |
5 |
59 |
4 |
9 |
4 |
4 |
2 |
3 |
|
10 |
2 |
6 |
6 |
2 |
3 |
4 |
60 |
6 |
4 |
4 |
2 |
2 |
7 |
|
11 |
3 |
9 |
3 |
1 |
10 |
4 |
61 |
1 |
2 |
7 |
1 |
4 |
3 |
|
12 |
5 |
9 |
4 |
1 |
19 |
5 |
62 |
3 |
8 |
6 |
5 |
2 |
3 |
|
13 |
3 |
3 |
5 |
3 |
2 |
2 |
63 |
6 |
6 |
6 |
1 |
8 |
8 |
|
14 |
6 |
9 |
7 |
1 |
15 |
3 |
64 |
1 |
9 |
4 |
2 |
17 |
5 |
|
15 |
3 |
8 |
3 |
1 |
12 |
5 |
65 |
4 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
16 |
2 |
5 |
7 |
1 |
9 |
4 |
66 |
8 |
3 |
3 |
1 |
6 |
4 |
|
17 |
3 |
5 |
5 |
1 |
1 |
4 |
67 |
2 |
7 |
7 |
2 |
3 |
3 |
|
18 |
3 |
6 |
5 |
4 |
13 |
1 |
68 |
3 |
2 |
5 |
1 |
11 |
1 |
|
19 |
3 |
7 |
6 |
1 |
5 |
4 |
69 |
5 |
1 |
5 |
2 |
1 |
7 |
|
20 |
4 |
4 |
4 |
1 |
15 |
1 |
70 |
4 |
8 |
8 |
3 |
16 |
3 |
|
21 |
2 |
6 |
5 |
2 |
1 |
6 |
71 |
2 |
7 |
6 |
2 |
1 |
6 |
|
22 |
2 |
7 |
7 |
2 |
5 |
7 |
72 |
2 |
6 |
6 |
2 |
5 |
5 |
|
23 |
4 |
3 |
4 |
5 |
3 |
3 |
73 |
5 |
5 |
7 |
1 |
9 |
6 |
|
24 |
4 |
2 |
5 |
1 |
3 |
3 |
74 |
8 |
3 |
4 |
1 |
7 |
3 |
|
25 |
2 |
1 |
4 |
2 |
4 |
7 |
75 |
4 |
4 |
3 |
1 |
3 |
6 |
|
26 |
4 |
3 |
7 |
1 |
2 |
6 |
76 |
1 |
2 |
5 |
3 |
4 |
2 |
|
27 |
1 |
6 |
4 |
3 |
7 |
3 |
77 |
2 |
7 |
3 |
3 |
5 |
2 |
|
28 |
2 |
8 |
4 |
3 |
5 |
2 |
78 |
6 |
4 |
6 |
1 |
6 |
3 |
|
29 |
3 |
6 |
5 |
1 |
3 |
3 |
79 |
3 |
2 |
5 |
1 |
12 |
2 |
|
30 |
4 |
1 |
5 |
2 |
2 |
7 |
80 |
2 |
2 |
7 |
2 |
2 |
1 |
|
31 |
4 |
5 |
3 |
1 |
11 |
4 |
81 |
9 |
5 |
3 |
1 |
11 |
3 |
|
32 |
3 |
10 |
7 |
1 |
1 |
2 |
82 |
3 |
2 |
7 |
2 |
11 |
2 |
|
33 |
4 |
6 |
6 |
2 |
2 |
5 |
83 |
5 |
4 |
5 |
5 |
4 |
5 |
|
34 |
3 |
2 |
4 |
1 |
4 |
3 |
84 |
1 |
6 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
35 |
2 |
3 |
6 |
1 |
2 |
1 |
85 |
0 |
3 |
7 |
3 |
3 |
8 |
|
36 |
2 |
7 |
5 |
1 |
1 |
5 |
86 |
2 |
9 |
6 |
1 |
7 |
1 |
|
37 |
6 |
5 |
5 |
3 |
1 |
2 |
87 |
6 |
9 |
6 |
3 |
3 |
3 |
|
38 |
3 |
9 |
4 |
1 |
2 |
8 |
88 |
4 |
1 |
7 |
5 |
5 |
1 |
|
39 |
1 |
2 |
4 |
1 |
7 |
2 |
89 |
3 |
6 |
3 |
1 |
1 |
4 |
|
40 |
5 |
3 |
4 |
1 |
11 |
6 |
90 |
4 |
1 |
6 |
3 |
6 |
6 |
|
41 |
8 |
9 |
6 |
1 |
4 |
5 |
91 |
5 |
9 |
6 |
1 |
2 |
2 |
|
42 |
4 |
2 |
6 |
1 |
1 |
1 |
92 |
1 |
5 |
5 |
1 |
2 |
1 |
|
43 |
2 |
8 |
7 |
3 |
1 |
2 |
93 |
3 |
9 |
4 |
1 |
5 |
2 |
|
44 |
4 |
5 |
3 |
1 |
4 |
6 |
94 |
2 |
2 |
4 |
1 |
6 |
5 |
|
45 |
2 |
9 |
5 |
1 |
3 |
3 |
95 |
1 |
5 |
4 |
2 |
1 |
5 |
|
46 |
2 |
7 |
7 |
1 |
4 |
1 |
96 |
4 |
3 |
6 |
1 |
2 |
2 |
|
47 |
7 |
1 |
5 |
2 |
2 |
7 |
97 |
3 |
1 |
4 |
1 |
4 |
2 |
|
48 |
3 |
9 |
4 |
3 |
1 |
1 |
98 |
2 |
4 |
4 |
2 |
3 |
6 |
|
49 |
6 |
4 |
6 |
1 |
3 |
1 |
99 |
1 |
5 |
4 |
1 |
6 |
1 |
|
50 |
3 |
1 |
6 |
1 |
4 |
2 |
100 |
3 |
6 |
5 |
1 |
1 |
6 |
On considère une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans {1, 2, …, n}.
1) On suppose que sa loi de probabilité est définie par
P(X=i) = pi
= k i
Calculer la valeur de k. En déduire son espérance.
2) On suppose que sa loi de probabilité est définie par
P(X=i) = pi
= k / [i(i+1)]
Montrer l’égalité 1/[i(i+1)] = 1/i –1/(i+1). En déduire la valeur de k..
Soit X une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs de 0 à 5. On considère l’échantillon ci-dessous :
|
valeurs |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
effectifs |
0 |
23 |
33 |
76 |
47 |
21 |
1) Calculer la moyenne et la variance de cet échantillon. La loi uniforme sur {1,...,5} est-elle possible ?
2) En supposant que la loi de X est la loi binomiale, calculer la valeur de p telle que la moyenne observée soit égale à la moyenne théorique pour n = 5 . La loi binomiale paraît-elle vraisemblable ?
3) On considère maintenant une v.a. Z prenant ses valeurs dans {1, 2, 3, 4, 5} dont la loi de probabilité est définie par p1, ..., p5 avec :
|
p2 = 2 p1 |
p3 = 4 p1 |
p4 = 2 p1 |
p5 = p1 |
Calculer p1, p2, p3, p4 et p5. En déduire la moyenne et la variance théoriques.
4) Choisir un critère pour comparer la loi de X à la loi uniforme sur {1,...,5}, à la loi B(5,0.6) et à la loi de Z. Conclure.
On considère la fonction f(x) définie par :
|
f(x) = a x |
si x est compris entre 0 et 2 |
|
f(x) = 0 |
sinon |
expression dans laquelle la paramètre a est constant.
1) Calculer la constante a de façon que la fonction f(x) soit la densité de probabilité d’une v.a. X . Représenter alors graphiquement cette densité.
2) Calculer les probabilités ci-dessous :
P(X<0.25), P(X>0.5), P(1<X<1.5)
3) Calculer la fonction de répartition théorique définie par :
F(x) = P(X£x)
En déduire la médiane et les quartiles théoriques.
On considère une v.a.X suivant la loi de probabilité définie par la densité :
|
quel que soit x Î[-1, 1] |
f(x) = k x2 |
1) Calculer la valeur de la constante k. Représenter graphiquement la densité.
2) Calculer la moyenne et la variance théoriques de cette v.a..
3 Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition. En déduire la médiane et les quartiles.
4) Calculer les probabilités suivantes :
|
P(XÎ[-1, -3/4] ) |
P(XÎ[-3/4, -1/2] ) |
P(XÎ[-1/2, -1/4] ) |
P(XÎ[-1/4, 0]) |
En déduire les probabilités suivantes :
|
P(XÎ[0, 1/4]) |
P(XÎ[1/4, 1/2]) |
P(XÎ[1/2, 3/4]) |
P(XÎ[3/4, 1]) |
1) On considère une v.a. X suivant la loi normale N(10,3) de moyenne m = 10 et d’écart-type s = 3.
Calculer les probabilités suivantes :
P(12.24 < X < 13.65), P (8.25 < X < 9.74), P (7.51 < X < 11.33) , P(9.62 < X < 12.03), P ( 7.46 < X < 10.54 )
2) On considère une v.a. X suivant la loi uniforme sur l’intervalle ] 9, 13 [.
Représenter graphiquement la densité.
Calculer les probabilités suivantes :
P( 9.5< X < 11), P(10.5 < X < 12.5 ), P(8.5 < X < 11.5), P(9.62 < X < 14.03)