Formule de Bayes

La formule de Bayes est :

	P(A/B) P(B)
P(B/A) =	^_____________________________________________
	P(A/B) P(B) + P(A/B^c) P(B^c)

On la démontre facilement cette formule en décomposant le sous-ensemble A :

A = (AÇB) È (AÇB^c)

En effet, un élément de A peut :

§ appartenir à B : il appartient alors à AÇB.

§ ne pas appartenir à B : il appartient alors à AÇB^c.

Un élément de l’intersection (AÇB) Ç (AÇB^c) appartiendrait à la fois à B et à B^c : c’est impossible et cette intersection est égale à F. On en déduit : 

P(A) = P(AÇB) + P(AÇB^c)

D’après la définition de la probabilité conditionnelle :

P(A) = P(A / B) P(B) + P(A / B^c) P(B^c)

écrivons maintenant P(BÇA) de deux façons différentes :

P(BÇA) = P(B/A) P(A)	= P(B/A) [P(A/B) P(B) + P(A/B^c) P(B^c)]
P(BÇA) = P(AÇB)	= P(A/B) P(B)

On en déduit :

P(B/A) [P(A/B) P(B) + P(A/B^c) P(B^c)]

= P(A/B) P(B)

et la formule de Bayes :

	P(A/B) P(B)
P(B/A) =	^_____________________________________________
	P(A/B) P(B) + P(A/B^c) P(B^c)