Formule de Schwarz

Nous démontrons ici que le coefficient de corrélation est compris entre –1 et 1.

Pour cela, nous étudions la variance de la série de données (x_i + k y_i) i = 1, …, n où k est un nombre réel quelconque. La variance d’une série de données est une moyenne de carrés : la variance V(X+kY) de la série (x_i + k y_i) i = 1, …, n est donc positive quelle que soit la valeur du paramètre k. Calculons son expression en fonction des variances des séries x_i et y_i et de la covariance. On vérifie facilement sa moyenne m_x+ky est de la forme:

m_x+ky = m_x + k m_y

On en déduit :

( xi + k yi - mx+ky)^2	= ( xi - mx + k yi - k my)^2
	= (xi - mx)^2 + k^2 (yi - my)^2 + 2 k (xi - mx) (yi - my)

On considère la somme des carrés ci-dessus pour toutes les valeurs de i de 1 jusqu’à n :

n			n
S	( xi + k yi - mx+ky)^2	=	S	(xi - mx)^2
i = 1			i = 1
			n			n
		+ k^2	S	(yi - my)^2	+ 2 k	S	(xi - mx) (yi - my)
			i = 1			i = 1

On en déduit :

V(X+kY)	= sx^2 + k^2 sy^2 + 2 k cov(x,y)
	= k^2 sy^2 + 2 k cov(x,y) + sx^2

Une variance étant toujours positive ou nulle, le second membre de l’équation ci-dessus est un polynôme du second degré toujours positif ou nul. Son discriminant est donc négatif ou nul :

	[2 cov(x,y) ]^2 - 4 sy^2 sx^2 £0
Soit :	4 cov(x,y) ^2 £ 4 sy^2 sx^2
ou encore :	[ cov(x,y) / sy sx ]^2 £ 1

Le coefficient de corrélation est donc toujours inférieur ou égal à 1 en valeur absolue. S’il est égal à ±1, cela signifie que le discriminant est nul : il existe une valeur k₀ de k telle que la variance de la série x_i + k y_i soit égale à 0, dont telle que les x_i + ky_i soient égaux à leur moyenne d’après la définition de la variance. On a alors :

Pour tout i = 1, …, n

xi + k0 yi = mx + k0 my

Tous les points (x_i, y_i) appartiennent donc à la droite d’équation :

x + k₀ y = m_x + k₀ m_y

La liaison entre les deux séries est alors exactement linéaire.