õ—&ÿÿÿÿWordMicrosoft Word  r¡ ûCourier New-ûÄÿ¼@Times New Roman- )2 Ÿž¡ rANALYSE COMBINATOIRE+++(+!(+/9(++(/+( 2 Ÿ³¡ r ûÄÿ@Times New Roman- 2 ¡ r ‚2 ZO¡ rL’analyse combinatoire regroupe des méthodes mathématiques de dénombrement, de "//////—2 Ÿb]¡ rcomptage d’objets vérifiant des propriétés particulières. Par exemple, quel est le nombre de /!//D2 äb&¡ rmains de 13 cartes comportant trois as// 2 äH¡ r .2 äW¡ rdans un jeu de 52 ? Com(/2 äñ¡ rbien y 2 ä¡ r- 2 䣡 ra 2 価 r- 2 äÑ¡ rt 2 äâ¡ r- 2 äõ¡ r il de façons ^2 )b7¡ rd’affecter dix invités à dix chaises autour d’une table 2 )a¡ r 2 )p¡ r?  2 )™¡ r ‘2 nY¡ rSon importance en probabilité et statistique est considérable. Nous introduisons ici les !/+J2 ³b*¡ rprincipales notions de façon progressive.  2 ³H¡ r  2 ø¡ r ûºÿ¼@Times New Roman-82 >¡ rI. Factorielle et arrangements*####'#9'ü- !ðs†üÿÿÿ-ð 2 >†¡ r &-2 ¶¡ rOn consi+€2 ¶íN¡ rdère 5 objets numérotés numérotées de 1 à 5 et 5 boîtes identifiées par A, B, //*'t2 ûbF¡ rC, D, et E . On peut ranger l’objet 1 dans une quelconque des 5 boîtes(+%+ 2 û+¡ r .2 û:¡ r: il y a donc 5 façons 2 @b ¡ rpossibles. 2 @M¡ r y2 …I¡ rUne fois l’objet A rangé, il reste 4 boîtes vides, donc quatre façons pos+*%2 …Å¡ rsibles de ranger v2 ÊbG¡ rB. Il y a donc 5 x 4 = 20 façons posibles de ranger les objets 1 et 2.'" 2 Ê»¡ r ’2 -Z¡ rUne fois les objets 1 et 2 rangés, il reste trois boîtes vides. Pour chaque rangement des +!/2 rbM¡ robjets 1 et 2, il y a donc 3 façons de ranger l’objet 3. D’où 5 x 4 x 3 façon+,2 rg¡ rs de ranger les trois &2 ·b¡ rpremiers objets. / 2 ·¡ r 2 X¡ rOn considère mainenant les trois premiers objets rangés. Il reste deux boîtes vides, et +//s2 _bE¡ rdonc, il y a (5 x 4 x 3) x 2 façons de ranger 4 objets dans 5 boîtes. 2 _¡ r a2 Â9¡ rIl ne reste plus qu’une boîte vide pour l’objet 5, et il A2 Â$¡ ra y a donc 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 "I2 b)¡ rfaçons de ranger 5 objets dans 5 boîtes.  2 "¡ r -Œ2 jV¡ rDans le cas général , le nombre de façons de ranger n objets dans n boîtes est égal à +/- 2 ¯b¡ rn 2 ¯€¡ r ûØÿ@Times New Roman- 2 Á¡ rx- 2 ¯¢¡ r 2 ¯±¡ r(n  2 ¯ó¡ r–2 ¯¡ r 1) - 2 Ác¡ rx-2 ¯v¡ r (n  2 ¯È¡ r–2 ¯æ¡ r 2) … <- 2 Á„¡ rx-2 ¯—¡ r 2 - 2 ÁÕ¡ rx-j2 ¯è?¡ r 1. Ce nombre s’appelle la factorielle de n ou factoriel n. Il (/2 ¯„ ¡ rest noté  2 ôb¡ rn 2 ô€¡ r 2 ô¡ r! . 2 ôÀ¡ r - 2 Z D1rn 2 Z b1r 2 Z q1r! = 1 "- 2 l ñ1rx-2 Z 1r 2 - 2 l @1rx-2 Z S1r 3 - 2 l 1rx-2 Z ¢1r … <- 2 l ü1rx-2 Z 1r (n 2 Z P1r–2 Z n1r1) - 2 l ¯1rx-2 Z Â1r n 2 Z ï1r 2 Z pr(0 2 Z Fpr ,2 Z Upr! = 1 par convention )" 2 Z _pr ü- !ðW .-- !ðW .-- !ðÑW 0-- !ðW -- !ðmW -- !ðW p-- !ðW p-- !ðcZ .-- !ð½ .-- !ð½ .-- !ðѽ 0-- !ð½ -- !ðm½ -- !ðcZ p-- !ð½ p-- !ð½ p-‹2 Ý U¡ rSupposons maintenant que le nombre de boîtes soit égal à 13, et le nombre d’objets à !///•2 " b\¡ r5. Le même raisonnement nous donne le nombre de façons de ranger les 5 objets dans 5 boîtes "////2 g b¡ rchois"2 g á¡ ries parmi les 9/ 2 g ?¡ r 2 g N¡ r:  2 g l¡ r -2 Ê ¾¡ r13 - 2 Ü ¡ rx-2 Ê ¡ r 12 - 2 Ü v¡ rx-2 Ê ‰¡ r 11 - 2 Ü ã¡ rx-2 Ê ö¡ r 10 - 2 Ü P¡ rx-2 Ê c ¡ r 9 = 154 440" 2 Ê “¡ r ˆ2 - S¡ rC’est le nombre d’arrangements de 5 objets dans 10 boîtes.Dans le cas général de n (//+-_2 r b8¡ rboîtes et p objets, le nombre d’arrangements est noté A//*- 2 Œ  ¡ rn- 2 h ´¡ rp-2 r È¡ r . 2 r õ¡ rOn a+ 2 r h¡ r  2 r w¡ r: 2 r †¡ r - 2 Ø +…rA*- 2 ò U…rn- 2 Î i…rp-2 Ø }…r = (n " 2 Ø þ…r–2 Ø  …r p + 1) x (n " 2 Ø 8…r–2 Ø V …r p + 2) ( n " 2 Ø T…r–2 Ø r …r p+3) x … "<2 Ø z…r(n  2 Ø »…r–2 Ø Ù…r 1)2 Ø …r x n 2 Ø t…r - !ðÕ -- !ðÕ -- !ðjÕ -- !ðÕ …-- !ðÕ …-- !ðbØ -- !ð: -- !ð: -- !ðj: -- !ðbØ …-- !ð: …-- !ð: …--2 = ¡ rExercice( 2 = ð¡ r 2 = ÿ¡ r: ü- !ð{ -ð 2 = "¡ r -)2   ¡ r1) Montrer que (n+1)5" 2   ¡ r 2   #¡ r! = n" 2   ”¡ r 2   £¡ r! - 2 ² Å¡ rx-2   Ø¡ r (n+1)" 2   m¡ r ‹2  U¡ r2) Calculer les factorielles des nombres 2, 3, 4, 5 … jusqu’à ce que la calculatrice (/<72 H b¡ rdonne un résultat non entier. 2 H ¡ r >2 « "¡ r3) Montrer les relations suivantes5 2 « 8¡ r 2 « G¡ r:  2 « e¡ r - 2 ïQOrA*- 2 +QOrn- 2 -QOrp-2 AQOr = n" 2 ®QOr 2 ½QOr! /(n  2 0QOr–2 NQOr p) 2 QOr  2 žQOr! 2 ±QOr - 2 iRPrA*-2 +“RPrn+1- 2 ÒRPrp-2 æRPr = A"*- 2 +PRPrn- 2 dRPrp-2 x RPr (n+1) / (n " 2 |RPr–2 šRPr p2 ÇRPr + 1)" 2 9RPr - 2 »QN rA*- 2 +åQN rn- 2 ùQN rp- 2  QN r–- 2 !QN r1-2 5QN r = A"*- 2 +ŸQN rn- 2 ³QN rp-2 ÇQN r / (n  2 6 QN r–2 T QN r p +1)" 2 ä QN r - !ðO-- !ðO-- !ðþQ-- !ðO-- !ðO-- !ðþQ-- !ðO-- !ðO-- !ðýQ-- !ðN -- !ðN -- !ðbO-- !ðsO-- !ðsO-- !ðþsQ-- !ðbO-- !ðsO-- !ðþsQ-- !ðbO-- !ðsO-- !ðýsQ-- !ðbN -- !ðsN -- !ðsN --2 ” ¡ r4) Calculer A(*-2 ®Z¡ r10- 2 Š‚¡ r5-2 ”–¡ r, A*-2 ®Þ¡ r11- 2 Š¡ r5-2 ”¡ r, A*-2 ®b¡ r12- 2 ŠŠ¡ r5-2 ”ž¡ r,A*-2 ®×¡ r12- 2 Šÿ¡ r4- 2 ”¡ r. 2 ”"¡ r -ðrr¡ ¡ qq    ppŸ Ÿ oož ž nn  mmœ œ ll› › kkš š jj™ ™  i i˜  ˜   h h—  —