Les fonctions logarithme et exponentielle sont des fonctions fondamentales dans toutes les sciences appliquées. Il est très regrettable que dans certaines sections de l’enseignement du second degré, ces fonctions ne soient plus étudiées. Les étudiants de ces sections qui veulent poursuivre leurs études seront toujours amenés à utiliser ces fonctions et sont donc obligés de rattraper ce retard.
La fonction logarithme est la
fonction réciproque de la fonction exponentielle . On utilise surtout les
logarithmes décimaux :
y =
log x Û
x = 10y
et les logarithmes
népériens :
y =
ln x Û
x = ey
Le nombre e, du nom du
mathématicien Euleur, est égal à 2.71828… On sait que ey est
positif. Le logarithme décimal log x ou népérien ln x est donc défini pour les
valeurs x positives strictement.
Propriétés
fondamentales de la fonction y = ln x:
· C’est une fonction croissante
· Elle est nulle pour x = 1 ;
· Elle est positive pour x>1 ;
· Elle est négative pour x<1 ;
· ln (1/y) = - ln y.
· sa dérivée est y’ = 1/x (x ¹ 0)
· x = ay Û y ln a = ln x
Propriétés
fondamentales de la fonction y = log x:
· C’est une fonction croissante
· Elle est nulle pour x = 1 ;
· Elle est positive pour x>1 ;
· Elle est négative pour x<1 ;
· log (1/y) = - log y.
· log(1/10)=-1, log(10)=1, log(100)=2, …, log(10x) = x
· x = ay Û y log a = log x
On a aussi :
|
log 10 = 1 |
log 1 = 0 |
|
ln e = 1 |
ln 1 = 0 |
|
ln e = 1 |
ln 1 = 0 |
|
ln x = log(x)/log (e) |
log
x = ln(x)/ln(10) |
|
eln x = ln(ex) = x |
10log x = log 10x
= x |
|
ab = e b ln(a) |
ab = 10 b log(a) |
Les logarithmes décimaux servent à construire des graphiques avec une
échelle logarithmique sur l’axe des ordonnées le plus souvent.
Les logarithmes népériens ont des
applications très nombreuses en mathématiques appliquées et en statistique.
Ils permettent par exemple de
calculer le nombre d’années (ou d’unités de temps) nécessaires pour qu’un
capital actualisé investi à un taux fixe t soit égal à une valeur fixée.
Reprenons
l’exemple donné précédemment. Soit C0 un capital investi à 10%, et
dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. On se demande au bout de
combien d’années la valeur actuelle aura doublé. On résout alors
l’équation :
|
C0
(1 + 0.1 )x |
=
2 C0 |
|
(1
+ 0.1 )x |
=
2 |
|
1.1x |
=
2 |
La propriété fondamentale du logarithme népérien nous donne :
x ln (1.1) = ln2
x = ln2 / ln (1.1)
Les valeurs du logarithme, jadis données par une table numérique, sont obtenues à l’aide d’une calculatrice :
|
ln 2 = 0.69314718... |
ln 1.1 = 0.0953101... |
On en déduit la valeur x : x
= 7.2754. Les intérêts étant capitalisés annuellement, il faut attendre la 8e
année pour que le capital ait au moins doublé par rapport à sa valeur initiale.
Cherchons maintenant au bout de combien de temps le capital aura triplé :
|
C0 (1 + 0.1 )x
|
= 3 C0 |
|
(1 + 0.1 )x |
= 3 |
|
1.1x |
= 3 |
Il est bien évident que l’on trouve une valeur x supérieur à la précédente :
x = ln3 / ln (1.1) =
11.5267
Il faut 12 ans pour que le capital placé à 10% annuels triple sa valeur initiale.