On considère deux groupes d’unités statistiques sur lesquelles on a observé une variable X. On note X1 la variable X observée sur le groupe 1 et X2 la variable X observée sur le groupe 2. On suppose que X1 et X2 sont réparties suivant la loi normale. On note :
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effectif |
moyenne |
variance |
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totale |
n |
m |
s2 |
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groupe 1 |
n1 |
m1 |
s12 |
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groupe 2 |
n2 |
m2 |
s22 |
1) On considère les valeurs numériques suivantes :
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n1 = 100 |
m1 = 10 |
s1 = 2 |
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n2 = 100 |
m2 = 20 |
s2 = 3 |
En déduire la moyenne m et la variance s2 de l’ensemble des unités statistiques. Déterminer le rapport de corrélation.
2) On tire au hasard un des deux groupes, suivant la loi de Bernoulli de probabilité p1 et on tire au hasard une observation dans le groupe obtenu.
On note :
· G1 l’événement : l’individu tiré appartient au groupe 1
· G2 l’événement : l’individu tiré appartient au groupe 2.
La valeur observée est l’observation d’une v.a. notée Y. Calculer les probabilités suivantes : P( 12<Y< 14 / G1), P( 12<Y< 14 / G2), P( 12<Y< 14).
3) En déduire les probabilités suivantes : P( G1/ 12 <Y< 14), P(G2/ 10<Y< 14) à l’aide de la formule de Bayes.
4) à quel groupe affecte-t-on une unité statistique dont la valeur observée appartient à l’intervalle [12,14] ?
5) Calculer les probabilités suivantes : P( G1/ 14 <Y< 15), P(G2/ 14<Y< 15) à l’aide de la formule de Bayes. à quel groupe affecte-t-on une unité statistique dont la valeur observée appartient à l’intervalle [14,15] ? Est-ce conforme à la règle consistant à affecter une unité statistique au groupe dont le centre de gravité lui est le plus proche ?
6) à quel groupe affecte-t-on une unité statistique dont la valeur observée x appartient à l’intervalle [x,x+dx] ?. Déterminer la valeur x0 telle que :
· une unité statistique dont l’observation x est inférieure à x0 est classée dans le groupe 1
· une unité statistique dont l’observation x est supérieure à x0 est classée dans le groupe 2
7) On tire maintenant au hasard le groupe G1 ou G2 avec les probabilités p1 et p2. à quel groupe affecte-t-on une unité statistique dont la valeur observée x appartient à l’intervalle [x,x+dx] ?
8) Généraliser la règle de décision à à un nombre quelconque de groupes.