l’hérédité des caractères physiques

On étudie la taille, le poids et la pointure d’un échantillon de 90 étudiantes âgées d’une vingtaine d’années, de leurs pères et de leurs mères. Chaque unité statistique, que l’on appellera famille, est donc définie par l’association des trois personnes. L’objectif de l’analyse est d’étudier les liaisons entre les variables, de créer des groupes de familles, et de rechercher les points aberrants.

On donne ci-dessous les résultats statistiques élémentaires :

taille	tailE	163.98	5.67	32.20
poids	pdE	54.66	5.68	32.29
pointure	ptuE	37.91	1.43	2.04
taille du père	tailP	169.79	5.41	29.30
poids du père	pdP	71.77	7.58	57.42
pointure du père	ptuP	41.64	1.45	2.09
taille de la mère	tailM	160.47	5.79	33.56
poids de la mère	pdM	57.86	7.18	51.61
pointure de la mère	ptuM	38.22	1.47	2.17
Variables	Abréviations	moyennes	écarts types	variances

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
tailE	1.0000
pdE	0.3991	1.0000
ptuE	0.6817	0.5456	1.0000
tailP	0.4383	-0.0020	0.2781	1.0000
pdP	0.1678	0.1434	0.1748	0.4477	1.0000
ptuP	0.2879	0.0835	0.3341	0.4739	0.3702	1.0000
tailM	0.4272	0.2118	0.3545	0.2079	0.0971	0.1261	1.0000
pdM	0.1163	0.3564	0.2621	-0.1865	-0.0116	-0.0456	0.2859	1.0000
ptuM	0.1735	0.1902	0.2498	-0.1051	-0.0946	-0.2319	0.5152	0.3759	1.0000

Coefficients de corrélation

1) On décide pour cela d’effectuer l’analyse en composantes principales de ces données. Justifier ce choix . Calculer et commenter les distances entre les trois familles ci-dessous :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
x	173	59	39	170	75	42	168	65	38
y	173	59	39	175	65	44	168	65	38
z	173	59	39	170	75	42	160	58	38

2) Que peut-on dire des variances des variables donnant la taille de chaque personne ? Des variances du poids et de la pointure ? A partir de quelle valeur les coefficients sont-ils significatifs pour un risque de 5% ? Que peut-on en dire ?

3) On donne ci-dessous les valeurs propres obtenues par l’ACP. Jusqu’à quel rang peut-on considérer que les composantes principales sont significatives ? Quel est le pourcentage d’information conservée par ces composantes principales ?

l	%	S%
2.991	33	33	**************************************************
2.016	22	56	*********************************
1.026	11	67	*****************
0.861	10	77	**************
0.649	7	84	**********
0.462	5	89	*******
0.410	5	94	******
0.347	4	97	*****
0.238	3	100	***

4) On donne ci-dessous les coefficients de corrélation entre les variables initiales et les composantes principales. Construire le cercle de corrélation 1 x 2. Interpréter les deux premières composantes principales.

	Axe 1		Axe 2		Axe 3		Axe 4		Axe 5
	r	r²	r	r²	r	r²	r	r²	r	r²
tailE	-0.805	0.648	0.075	0.006	-0.006	0.000	0.407	0.166	0.070	0.005
pdE	-0.603	0.364	-0.277	0.077	0.580	0.336	-0.014	0.000	0.255	0.065
ptuE	-0.830	0.689	-0.058	0.003	0.242	0.059	0.244	0.060	-0.018	0.000
tailP	-0.504	0.254	0.641	0.411	-0.312	0.097	0.030	0.001	0.083	0.007
pdP	-0.395	0.156	0.508	0.258	-0.005	0.000	-0.626	0.391	0.381	0.145
ptuP	-0.464	0.215	0.607	0.368	0.076	0.006	-0.121	0.015	-0.532	0.283
tailM	-0.632	0.400	-0.300	0.090	-0.538	0.290	-0.048	0.002	-0.106	0.011
pdM	-0.364	0.132	-0.589	0.347	0.214	0.046	-0.466	0.217	-0.339	0.115
ptuM	-0.365	0.133	-0.676	0.456	-0.438	0.192	-0.093	0.009	0.135	0.018

5) Comparer la première valeur propre et la somme des carrés des coefficients de corrélation des variables initiales avec la première composante principale. Calculer la somme des carrés des coefficients de corrélation des variables initiales avec les autres composantes principales. Existe-t-il une variable Y telle que la somme des carrés des coefficients de corrélation entre Y et les variables initiales soit supérieure à 2.991 ?

6) Le plan principal 1 x 2 est donné ci-dessous. Que peut-on dire de la dispersion des familles ? Décrire les familles dont les rangs sont les suivants : 33, 48, 49, 51, 66, 80. Déterminer le quadrant du plan 1 x 2 où se trouvent représentées les familles x et y dont les caractéristiques sont les suivantes :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
x	173	59	39	170	75	42	168	65	38
y	154	45	35	170	65	40	156	45	37

Placer approximativement le point représentant la famille z :

164

170

160

plan principal 1 x 2

(l₁ = 2.991, l₂ = 2.016)

7) On donne dans le tableau en annexe les deux premières composantes principales et les cosinus carrés de chaque unité statistique avec les axes. Déterminer les unités statistiques dont le cosinus carré avec le plan 1 x 2 est inférieur à 0.2. Calculer la moyenne et la variance de leurs coordonnées sur les axes 1 et 2. Indiquer sur le plan 1 x 2 la région où elles se trouvent.

8) Les quatre premières composantes principales de la famille 90 sont les suivantes :

	Axe 1		Axe 2		Axe 3		Axe 4
n°	c₁	cos²	c₂	cos²	c₃	cos²	c₄	cos²
90	2.885	0.281	-0.344	0.004	3.548	0.426	-2.138	0.155

Reconstituer approximativement les caractéristiques de cette famille. Comment apparaît-elle sur le plan 3 x 4 ?

ANNEXE

	Axe 1		Axe 2			Axe 1		Axe 2			Axe 1		Axe 2
n°	c₁	cos²	n°	c₁	n°	c₁	cos²	c₂	cos²	n°	c₁	cos²	c₂	cos²
1	1.797	0.209	-2.031	0.267	31	-0.508	0.012	4.049	0.741	61	-1.243	0.265	-1.355	0.315
2	0.685	0.059	-0.646	0.053	32	0.493	0.025	-1.599	0.259	62	-2.385	0.452	0.713	0.040
3	-0.820	0.401	-0.559	0.186	33	-2.399	0.423	2.242	0.369	63	-0.049	0.004	-0.372	0.252
4	0.527	0.110	0.488	0.095	34	-0.984	0.072	-0.920	0.063	64	-0.693	0.036	-3.030	0.691
5	-0.480	0.033	0.551	0.043	35	-0.573	0.202	-0.292	0.052	65	0.413	0.039	0.671	0.102
6	-0.336	0.029	0.951	0.234	36	0.498	0.105	0.725	0.223	66	1.809	0.188	-3.065	0.539
7	-2.202	0.730	-0.436	0.029	37	-3.015	0.733	1.278	0.132	67	0.065	0.002	0.727	0.243
8	3.719	0.828	0.835	0.042	38	-1.747	0.504	-0.019	0.000	68	0.226	0.027	-0.470	0.116
9	2.981	0.583	1.360	0.121	39	-2.395	0.635	0.545	0.033	69	2.207	0.605	1.071	0.142
10	-0.657	0.112	0.968	0.242	40	0.073	0.001	-1.519	0.510	70	-0.749	0.062	1.234	0.169
11	-2.709	0.527	-1.413	0.144	41	1.508	0.349	-1.368	0.287	71	3.478	0.787	-0.854	0.047
12	-0.705	0.025	-3.912	0.783	42	0.558	0.097	1.168	0.424	72	-1.894	0.297	1.313	0.143
13	1.579	0.222	-1.469	0.192	43	0.336	0.007	-1.361	0.116	73	1.353	0.267	-1.576	0.363
14	0.146	0.006	0.541	0.087	44	2.771	0.789	-0.457	0.021	74	-3.752	0.621	1.536	0.104
15	-1.947	0.793	0.498	0.052	45	1.589	0.166	3.198	0.671	75	-0.549	0.197	-0.214	0.030
16	-0.665	0.032	-2.175	0.347	46	0.176	0.002	-2.417	0.370	76	-0.867	0.257	0.820	0.230
17	0.778	0.060	-0.791	0.062	47	0.376	0.059	0.093	0.004	77	2.328	0.721	-0.182	0.004
18	-2.530	0.621	-1.035	0.104	48	-2.361	0.401	-2.694	0.522	78	2.066	0.451	0.501	0.027
19	-1.405	0.391	-0.413	0.034	49	2.284	0.282	3.066	0.507	79	0.879	0.141	1.567	0.448
20	0.852	0.114	0.511	0.041	50	0.231	0.011	1.206	0.307	80	-2.789	0.584	-0.003	0.000
21	-0.971	0.173	-0.700	0.090	51	4.284	0.742	-0.999	0.040	81	2.736	0.712	0.447	0.019
22	2.435	0.624	0.332	0.012	52	-1.006	0.368	0.919	0.307	82	-0.352	0.040	0.546	0.096
23	-0.680	0.067	1.747	0.442	53	-3.257	0.763	-0.776	0.043	83	-0.398	0.037	1.162	0.313
24	-1.117	0.130	-2.557	0.679	54	0.381	0.059	0.947	0.366	84	-0.361	0.016	-1.392	0.238
25	0.868	0.129	1.812	0.563	55	2.547	0.654	1.429	0.206	85	0.847	0.226	0.382	0.046
26	-2.519	0.758	-0.384	0.018	56	-1.059	0.128	2.256	0.581	86	-2.248	0.333	-0.366	0.009
27	-0.775	0.051	1.347	0.153	57	0.781	0.071	-2.258	0.597	87	-2.544	0.595	0.779	0.056
28	1.552	0.415	0.995	0.170	58	-0.678	0.175	-0.591	0.133	88	2.084	0.419	-0.485	0.023
29	0.712	0.175	-0.751	0.194	59	-1.402	0.343	1.000	0.175	89	0.522	0.050	-0.404	0.030
30	1.340	0.360	-0.504	0.051	60	0.025	0.000	0.629	0.065	90	2.885	0.281	-0.344	0.004

correction

1) Les données sont quantitatives : l’analyse en composantes principales est adaptée pour l’analyser dans un objectif de description.

Les distances entre les trois familles ci-dessous sont calculées à l’aide de la formule donnée en cours et dans le résumé :

		p			p
d²(i,i’)	=	S	[x_j’(i) –x_j’(i’)]²	=	S	[x_j(i) –x_j(i’)]² / s_j²
		j = 1			j = 1

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
x	173	59	39	170	75	42	168	65	38
y	173	59	39	175	65	44	168	65	38
z	173	59	39	170	75	42	160	58	38

On trouve :

d²(x,y) = 4.50

d²(x,z) = 2.86

d²(y,z) = 7.36

La distance entre les familles x et y s’explique par la différence de taille, de poids et de pointure entre les pères. Entre x et z, c’est la mère qui ne se ressemble guère. Entre y et z, les deux parents sont différents, ce qui explique que la distance est plus grande que les deux précédentes.

2) Les variances des variables donnant la taille de chaque personne sont très proches les unes des autres (de l’ordre de 30). On observe la même propriété sur les variances des pointures (environ 2). En ce qui concerne les poids, les variances sont nettement plus différentes les unes des autres. On peut l’expliquer par le fait que le poids dépend non seulement des facteurs génétiques de chacun, mais aussi de sa façon de vivre contrairement à la taille et à la pointure.

On trouve dans la table donnée dans le chapitre 3 la valeur à partir de laquelle un coefficient de corrélation peut être considéré comme grand lorsque l’effectif observé est égal à 90. Cette valeur est égale à 0.2061. Nous avons indiqué dans la matrice ci-dessous les coefficients montrant une relation significative entre les variables :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
tailE	1.0000
pdE	0.3991	1.0000
ptuE	0.6817	0.5456	1.0000
tailP	0.4383	-0.0020	0.2781	1.0000
pdP	0.1678	0.1434	0.1748	0.4477	1.0000
ptuP	0.2879	0.0835	0.3341	0.4739	0.3702	1.0000
tailM	0.4272	0.2118	0.3545	0.2079	0.0971	0.1261	1.0000
pdM	0.1163	0.3564	0.2621	-0.1865	-0.0116	-0.0456	0.2859	1.0000
ptuM	0.1735	0.1902	0.2498	-0.1051	-0.0946	-0.2319	0.5152	0.3759	1.0000

On remarque que les coefficients de corrélation entre la taille, le poids et la pointure d’une même personne sont significatifs et positifs. On note aussi des coefficients significatifs et positifs entre les trois tailles : le père et la mère sont souvent tous deux plus grands ou plus petits que la moyenne. De même, l’étudiante et son père ou l’étudiante et sa mère. Le coefficient de corrélation entre la pointure du père et celle de la mère est négatif : on ne voit guère d’explication, et cela résulte peut-être simplement d’un artefact statistique : sur 36 coefficients de corrélation, il est fréquent que l’un au moins soit significatif alors qu’il n’y a pas de liaison réelle entre les variables (la probabilité est approximativement égale à 0.85).

L’analyse en composantes principales donnera des informations plus générales.

3) Les deux premières composantes principales conservent 56% de l’information contenue dans les données, les quatre première 77%. La 5^e valeur propre est nettement plus petite que la quatrième : on peut donc négliger les axes de rang supérieur ou égal à 5. On remarque toutefois que les valeurs propres de rang 3 et 4 sont relativement faibles : l’information apportée par les composantes principales correspondantes risque d’être difficile à déterminer et de ne pas être très pertinente par rapport à celle qui est donnée par les deux premières.

l	%	S%
2.991	33	33	**************************************************
2.016	22	56	*********************************
1.026	11	67	*****************
0.861	10	77	**************
0.649	7	84	**********
0.462	5	89	*******
0.410	5	94	******
0.347	4	97	*****
0.238	3	100	***

4) On donne ci-dessous le cercle de corrélation 1 x 2.

Cercle de corrélation 1 x 2

(l₁ = 2.991 , l₂ = 2.016)

On constate que toutes les variables sont corrélées négativement à la première composante principale, ce qui montre un effet « taille » : les familles se distinguent les unes des autres essentiellement par la taille, leur poids et la pointure de l’étudiante et de ses parents. Dans une famille dont la première composante principale est faible (par exemple, inférieure à moins l’écart type : – 1.73) la taille, le poids et l’âge de chacun des trois membres sont en général largement supérieurs à la moyenne. Inversement, dans une famille dont la première composante principale est élevée (par exemple, supérieure à l’écart type : 1.73) la taille, le poids et l’âge de chacun des trois membres sont en général largement inférieurs à la moyenne.

Les variables se répartissent en trois groupes assez évidents, chaque groupe correspondant à une personne. La second composante principale oppose le père (corrélations positives avec la seconde composante principale) et la mère (corrélations négatives avec la seconde composante principale) : on comprend bien que la taille, le poids et la pointure de chacun des deux soient relativement peu corrélés, ou même corrélés négativement comme on peut le vérifier sur la matrice des corrélations. .

5) La somme des carrés des coefficients de corrélation des variables initiales avec la première composante principale est égale à la première valeur propre. Cette propriété est vérifiée par les autres composantes principales. Il s’agit d’une propriété toujours vraie.

Il n’existe pas de variable Y telle que la somme des carrés des coefficients de corrélation entre Y et les variables initiales soit supérieure à 2.991, puisque la première valeur propre est la plus grande possible.

6) On sait qu’il ne peut y avoir de liaison linéaire entre les composantes principales puisque leur coefficient de corrélation est nulle ; il n’y a pas non plus de relation non linéaire. Les familles sont visiblement dispersées de façon très régulière dans le plan ci-dessous, et on peut penser que la répartition des variables est multinormale. Cette dernière propriété, fondamentale dans les méthodes de statistique mathématique, justifie la recherche des coefficients de corrélation significatifs effectuée précédemment.

plan principal 1 x 2

(l₁ = 2.991, l₂ = 2.016)

Nous donnons ci-dessous l’interprétation de la position de chaque famille, que l’on pourra vérifier en examinant les valeurs observées correspondantes.

Famille 51 : la première composante principale est très élevée, et la seconde proche de 0, ce qui signifie que la taille, le poids et la pointure de l’étudiante, de son père et de sa mère sont particulièrement faibles.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
51	156	53	35	160	50	40	150	55	36

Famille 49 : la taille, le poids et la pointure de l’étudiante et de sa mère sont faibles.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
49	164	40	36	172	72	43	156	40	36

Famille 33 : l’étudiante et son père sont de grande taille, d’un poids et d’une pointure supérieure à la moyenne.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
33	170	60	39	180	90	43	160	60	37

Famille 80 : les trois membres de la famille sont de taille, de poids et de pointure très supérieures à la moyenne.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
80	174	58	39	178	72	43	164	75	38

Famille 48 : l’étudiante et sa mère sont de grande taille, d’un poids et d’une pointure supérieure à la moyenne.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
48	171	65	40	165	65	41	168	68	40

Famille 66 : la taille, le poids et la pointure de l’étudiante et de son père sont faibles.

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
66	158	50	37	165	65	38	155	70	41

La procédure pour placer les trois familles x, y et z est l’inverse de la précédente: on cherche les particularités de chaque famille pour déduire ses coordonnées sur les axes. On ne peut trouver évidemment les valeurs exactes par une simple observation, mais il existe une méthode permettant de les calculer.

Famille x :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
x	173	59	39	170	75	42	168	65	38
moyennes	163.98	54.66	37.91	169.79	71.77	41.64	160.47	57.86	38.22

L’étudiante est visiblement de grande taille, son père plutôt moyen, sa mère grande. Elle est représentée par un point du quadrant III (c’est en réalité la famille 7).

Famille y :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
y	154	45	35	170	65	40	156	45	37
moyennes	163.98	54.66	37.91	169.79	71.77	41.64	160.47	57.86	38.22

L’étudiante et sa mère sont globalement plus petites que la moyenne, le père est plutôt moyen : quadrant I (famille 8).

Famille z :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
z	164	55	38	170	72	42	160	58	38
moyennes	163.98	54.66	37.91	169.79	71.77	41.64	160.47	57.86	38.22

Les valeurs sont toutes très proches des moyennes. La famille z est représentée par un point très proche de l’origine des axes. Le calcul donne les résultats suivants :

	Axe 1	Axe 2
z	-0.082	0.200

7) On donne dans le tableau ci-dessous les composantes principales des familles dont le cosinus carré avec le plan 1 x 2 est inférieur à 0.2 :

	Axe 1		Axe 2
n°	c₁	cos²	c₂	cos²
47	0.376	0.059	0.093	0.004
60	0.025	0.000	0.629	0.065
65	0.413	0.039	0.671	0.102
68	0.226	0.027	-0.470	0.116
82	-0.352	0.040	0.546	0.096
89	0.522	0.050	-0.404	0.030

La moyenne et la variance de leurs coordonnées sur les axes 1 et 2 sont données ci-dessous :

Var	Minimum	Maximum	Moyenne	Variance	Ecart-type
c₁	-0.35200	0.52200	0.20167	0.08600	0.29326
c₂	-0.47000	0.67100	0.17750	0.22462	0.47394

Les moyennes sont très proches de 0 compte tenu des variances faibles par rapport aux variances calculés sur la totalité des observations (égales aux valeurs propres). Les familles mal représentées sur le plan 1 x 2 se trouvent donc à proximité de l’origine des axes.

8) la famille de rang 90 n’est pas très bien représentée par sa projection sur le plan 1 x 2 (cos² = 0.285). Sa première composante principale est très élevée, et donc les valeurs prises par les neuf variables devraient être globalement largement inférieures aux moyennes. En observant les coordonnées de cette famille sur le plan 3 x 4, on remarque que ses troisième et quatrième composantes principales sont aussi très élevées en valeur absolue, et que son approximation par le plan 3 x 4 est meilleure que par le plan 1 x 2. Il est donc indispensable d’examiner ces composantes principales pour comprendre la particularité de cette famille.

	Axe 1		Axe 2		Axe 3		Axe 4
n°	c₁	cos²	c₂	cos²	c₃	cos²	c₄	cos²
90	2.885	0.281	-0.344	0.004	3.548	0.426	-2.138	0.155

Nous examinons les variables initiales dans l’ordre .

Très vraisemblablement, l’étudiante est de petite taille (coefficient de corrélation avec c₄ égal à 0.407), d’un poids élevé (coefficient de corrélation avec c₃ égal à 0.580), son père paraît plutôt petit (coefficient de corrélation avec c₃ égal à –0.312), lourd (coefficient de corrélation avec c₄ égal à –0.626), sa mère petite (coefficient de corrélation avec c₄ égal à -0.538), lourde (coefficient de corrélation avec c₄ égal à –0.466) et avec de petits pieds (coefficient de corrélation avec c₃ égal à -0.538). Nous pouvons maintenant vérifier en examinant les données :

	tailE	pdE	ptuE	tailP	pdP	ptuP	tailM	pdM	ptuM
n° 90	148	68	36	160	80	40	146	60	36
moyennes	163.98	54.66	37.91	169.79	71.77	41.64	160.47	57.86	38.22

Cercle de corrélation 3 x 4

(l₃ = 1.026, l₄ = 0.861)

Finalement, la famille 90 possède les propriétés inverses de celles que l’on a constatées sur les autres : chacun de ses membres est de petite taille et d’un poids élevé. C’est un point statistiquement aberrant. On peut le visualiser sur le plan 3 x 4 :

Plan principal 3 x 4

(l₃ = 1.026, l₄ = 0.861)