On a noté de 1 à 20 dix articles suivant quatre critères A, B, C,
D :
n° |
A |
B |
C |
D |
|
1 |
10 |
8 |
7 |
15 |
|
2 |
14 |
16 |
4 |
6 |
|
3 |
9 |
13 |
12 |
6 |
|
4 |
10 |
10 |
10 |
10 |
|
5 |
16 |
14 |
6 |
4 |
|
6 |
4 |
13 |
7 |
16 |
|
7 |
5 |
15 |
14 |
6 |
|
8 |
5 |
7 |
16 |
12 |
|
9 |
14 |
8 |
8 |
10 |
|
10 |
11 |
9 |
11 |
9 |
Tableau de données initiales
Les lignes du tableau sont les unités statistiques appelées aussi individus statistiques. On les note i = 1, …10. Les colonnes sont les variables, notées j = 1, … p. On a donc, dans le cas général, n lignes et p colonnes. Dans la pratique, le tableau peut avoir 1000 lignes et 50 colonnes.
1) Calculer les moyennes des notes pour chaque article. Quelle conclusion sur les articles peut-on tirer de ces moyennes ? Commenter le tableau des données à l’aide des résultats statistiques données ci-dessous.
|
critères |
moyenne |
écart-type |
variance |
|
A |
9.8 |
3.94462 |
15.56 |
|
B |
11.3 |
3.1 |
9.61 |
|
C |
9.5 |
3.58469 |
12.85 |
|
D |
9.4 |
3.82623 |
14.64 |
Moyennes et variances des notes données aux articles pour chaque critère
|
|
B |
C |
D |
|
|
A |
1.000 |
0.087 |
-0.636 |
-0.505 |
|
B |
0.087 |
1.000 |
-0.337 |
-0.583 |
|
C |
0.636 |
-0.337 |
1.000 |
-0.007 |
|
D |
0.505 |
-0.583 |
-0.007 |
1.000 |
Corrélations entre les notes données aux articles pour chaque critère
2) On considère les critères A et B. Représenter graphiquement les dix articles
en fonction de leurs notes suivant ces deux critères. Quels sont les deux
articles les plus différents ? Les plus proches ? Calculer les
distances correspondantes. On considère maintenant les quatre critères A, B, C
et D. Calculer les distances entre les articles 5 et 8, et entre 4 et 10 en
tenant compte des quatre critères. Quelles sont les variables dont l’importance
est la plus grande en moyenne dans le calcul de ces distances ? Quelle est
finalement la transformation des données qu’il faut effectuer pour obtenir des
distances indépendantes des coefficients et des variances ?
3) On note a, b, c, d les variables centrées réduites déduites de A, B, C, D. Compléter en utilisant les propriétés des variables centrées réduites le tableau des valeurs centrées réduites ci-dessous :
|
|
a |
b |
c |
d |
|
1 |
0.0507 |
-1.0645 |
-0.6974 |
1.4636 |
|
2 |
1.0647 |
1.5161 |
-1.5343 |
-0.8886 |
|
3 |
-0.2028 |
0.5484 |
0.6974 |
-0.8886 |
|
4 |
0.0507 |
-0.4194 |
0.1395 |
0.1568 |
|
5 |
1.5718 |
0.8710 |
-0.9764 |
-1.4113 |
|
6 |
-1.4704 |
0.5484 |
-0.6974 |
1.7249 |
|
7 |
-1.2168 |
1.1935 |
1.2553 |
-0.8886 |
|
8 |
-1.2168 |
-1.3871 |
1.8133 |
0.6795 |
|
9 |
1.0647 |
-1.0645 |
-0.4184 |
0.1568 |
|
10 |
0.3042 |
-0.7419 |
0.4184 |
-0.1045 |
Compléter le tableau des distances entre les articles calculées à l’aide des valeurs centrées réduites précédentes.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0.000 |
13.921 |
10.144 |
2.824 |
14.403 |
4.983 |
16.052 |
8.629 |
2.814 |
3.872 |
|
2 |
13.921 |
0.000 |
7.524 |
8.669 |
1.258 |
14.894 |
13.092 |
27.300 |
8.998 |
10.105 |
|
3 |
10.144 |
7.524 |
0.000 |
2.405 |
6.328 |
10.383 |
1.756 |
8.479 |
6.546 |
2.615 |
|
4 |
2.824 |
8.669 |
2.405 |
0.000 |
7.683 |
6.410 |
6.546 |
5.618 |
1.756 |
0.314 |
|
5 |
14.403 |
1.258 |
6.328 |
7.683 |
0.000 |
19.272 |
13.134 |
25.029 |
6.773 |
7.861 |
|
6 |
4.983 |
14.894 |
10.383 |
6.410 |
19.272 |
0.000 |
11.124 |
11.207 |
11.565 |
9.406 |
|
7 |
16.052 |
13.092 |
1.756 |
6.546 |
13.134 |
11.124 |
0.000 |
9.430 |
14.199 |
7.375 |
|
8 |
8.629 |
27.300 |
8.479 |
5.618 |
25.029 |
11.207 |
9.430 |
0.000 |
10.563 |
5.290 |
|
9 |
2.814 |
8.998 |
6.546 |
1.756 |
6.773 |
11.565 |
14.199 |
10.563 |
0.000 |
1.451 |
|
10 |
3.872 |
10.105 |
2.615 |
0.314 |
7.861 |
9.406 |
7.375 |
5.290 |
1.451 |
0.000 |
Carrés des distances entre les dix articles
On vérifiera (ou on admettra) que la somme des carrés des distances est égale à 800 (2 x n2 x p).
4) On donne maintenant les variables C1 et C2 définies par les coefficients appliqués aux variables centrées réduites a, b, c, d ci-dessous :
|
C1 = |
– 0.5523 x a |
– 0.4662 x b |
+ 0.4687 x c |
+ 0.5079 x d |
|
C2 = |
– 0.3941 x a |
+ 0.4783 x b |
+ 0.5820 x c |
– 0.5265 x d |
|
C3 = |
– 0.4942 x a |
+ 0.6094 x b |
– 0.4445 x c |
+ 0.4322 x d |
|
C4 = |
0.5436 x a |
+0.4272 x b |
+ 0.4940 x c |
+ 0.5273 x d |
Les variables C1, C2, C3, C4 sont les composantes principales. Leurs variances sont appelées valeurs propres. Chaque composante principale est de variance maximale sous la contrainte d’être non corrélée aux précédentes. Les quatre coefficients utilisés pour calculer chaque composante principal constituent un vecteur principal. Il y a donc quatre vecteurs principaux. Ce sont les vecteurs propres de la matrice de corrélation. Leur calcul nécessite l’usage d’un ordinateur.
5) Compléter le tableau ci-dessous, calculé sur les valeurs centrées réduites des notes A, B, C et D :
|
|
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
|
1 |
0.885 |
-1.706 |
0.269 |
0.000 |
|
2 |
-2.465 |
-0.119 |
0.696 |
0.000 |
|
3 |
-0.268 |
1.216 |
-0.260 |
-0.000 |
|
4 |
0.313 |
-0.222 |
-0.275 |
0.000 |
|
5 |
-2.449 |
-0.028 |
-0.422 |
-0.000 |
|
6 |
1.106 |
-0.472 |
2.116 |
0.000 |
|
7 |
0.253 |
2.249 |
0.387 |
-0.000 |
|
8 |
2.514 |
0.514 |
-0.756 |
-0.000 |
|
9 |
-0.208 |
-1.255 |
-0.921 |
0.000 |
|
10 |
0.321 |
-0.176 |
-0.834 |
0.000 |
Que peut-on dire de la 4e composante principale ? Calculer la moyenne et la variance des autres composantes principales, ainsi que leur coefficient de corrélation.
6) Représenter graphiquement dans un système d’axes orthonormé les articles caractérisés par les couples de valeurs (C1, C2). Que peut-on dire de la distance sur ce plan entre les articles 6 et 8 ? Ces axes sont appelés axes principaux 1 et 2 et le plan plan principal 1 x 2. Calculer les distances sur ce plan entre les articles 5 et 8, entre 6 et 8 et entre 4 et 10. Calculer ces distances à l’aide des deux composantes principales C1, C2, puis des trois composantes principales C1, C2 et C3.
Calculer la somme des carrés des distances entre les dix articles sur l’axe principal 1. Effectuer le calcul théorique. En déduire la somme des carrés des distances sur le plan principal 1 x 2. Que peut-on dire de l’axe principal 4 ?
7) On considère les deux variables C1, A. Représenter les articles i = 1, …, 10 suivant les couples (C1, A). Que peut-on en dire ? Même question pour C2, B. Compléter le tableau des coefficients de corrélation entre les variables initiales et les composantes principales donnés ci-dessous :
|
|
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
|
A |
-0.796 |
-0.424 |
-0.431 |
0.000 |
|
B |
-0.672 |
0.515 |
0.532 |
0.000 |
|
C |
0.676 |
0.627 |
-0.388 |
0.000 |
|
D |
0.732 |
-0.567 |
0.377 |
0.000 |
Calculer la somme des carrés des coefficients de corrélation des critères A, B, C et D avec la composante principale C1. Que peut-on en dire ? Vérifier cette conjecture avec les autres composantes principales.
Calculer la somme des carrés des coefficients de corrélation du critère A avec les composantes principales C1, C2, C3 et C4. Que peut-on en dire ? Vérifier cette conjecture avec les autres composantes principales.
8) Représenter graphiquement dans un repère orthonormé les critères A, B, C et D en fonction de leurs coefficients de corrélation avec les composantes principales C1 et C2. On obtient ce que l’on appelle le cercle de corrélation C1 x C2 .