Thierry Foucart

gestion d’un portefeuille international d’actions et d’obligations par l’Analyse en composantes principales

Un fonds de placements internationaux gère son portefeuille d’actions et d’obligations en fonction des critères économiques et sociaux des 50 pays dans lesquels une partie des souscriptions qui lui sont confiées sont investies ou en voie de l’être. Pour cela, il dispose des statistiques suivantes sur les 50 pays :

SR : taux moyen d'épargne par personnes entre 1960 et1970

POP15 : pourcentage de la population de moins de 15 ans

POP75 : pourcentage de la population de plus de 75 ans

DPI : revenu moyen par personne de 1960 à 1970

DDPI : taux moyen de croissance du revenu moyen par personne.

Les données (réelles) sont extraites de l’ouvrage de Belsley et coll. Regression diagnostics (Wiley). Les résultats numériques nécessaires à l’analyse sont donnés en annexe.

1) Représenter graphiquement les 50 couples de la forme SR x POP15. Que peut-on en dire ? Combien de représentations graphiques de ce type peut-on construire ?

2) On effectue l’analyse en composantes principales normée de ce tableau. Calculer les distances entre les pays de rangs 19, 46 et 49 caractérisés par les 5 variables. Justifier le choix de la notion de distance choisie.

3) On considère le plan défini par les deux premiers axes principaux. Est-il suffisant pour obtenir une approximation correcte des distances ? Calculer les valeurs approchées par le plan 1 x 2 des distances entre les trois pays précédents.

4) Constituer deux groupes différents de pays homogènes. Quels sont les pays mal représentés sur le plan 1 x 2 ? Détecter des pays particuliers par rapport au groupe auquel ils appartiennent.

5) Représenter graphiquement le cercle de corrélation. Caractériser les groupes constitués dans la question précédente. Expliquer la différence entre les pays de rangs 19 et 49, 50 et 11.

6) Le fonds investit par sécurité dans des pays où le taux moyen d’épargne est élevé et le revenu moyen croît relativement vite. Quels sont ces pays ?

Résultats numériques

Moyennes et variances

Variable	moyenne	écart-type	variance
SR	9.671	4.435377	19.67257
POP15	35.0896	9.059748	82.07903
POP75	2.293	1.277799	1.632769
DPI	1106.758	980.9102	962184.8
DDPI	3.7576	2.841027	8.071434

Matrice des corrélations

	SR	POP15	POP75	DPI	DDPI
SR	1.0000	-0.4555	0.3165	0.2204	0.3048
POP15	-0.4555	1.0000	-0.9085	-0.7562	-0.0478
POP75	0.3165	-0.9085	1.0000	0.7870	0.0253
DPI	0.2204	-0.7562	0.7870	1.0000	-0.1295
DDPI	0.3048	-0.0478	0.0253	-0.1295	1.0000

Valeurs propres

Val.pro	%exp	%cum
l₁ = 2.822	56	56	----------------------------------------------------------
l₂ = 1.256	25	82	-------------------------
l₃ = 0.605	12	94	------------
l₄ = 0.240	5	98	----
l₅ = 0.078	2	100	-

Vecteurs principaux

u₁ :	0.3085	-0.5707	0.5604	0.5135	0.0379
u₂ :	-0.5542	-0.0127	0.1010	0.2663	-0.7820
u₃ :	-0.7501	-0.0265	0.2118	0.1450	0.6088
u₄ :	-0.1301	-0.4162	0.3904	-0.8013	-0.1235
u₅ :	0.1342	0.7073	0.6917	-0.0470	-0.0333

Cercle de corrélation 1 x 2 ( l₁ = 2.822, l₂ = 1.256)

Coefficients de corrélation entre les variables initiales et les composantes principales

	axe	1	axe	2	axe	3	axe	4	axe	5
	r₁	r₁²	r₂	r₂²	r₃	r₃²	r₄	r₄²	r₅	r₅²
SR	0.518	0.269	-0.621	0.386	-0.583	0.340	-0.064	0.004	0.037	0.001
POP15	-0.959	0.919	-0.014	0.000	-0.021	0.000	-0.204	0.042	0.197	0.039
POP75	0.941	0.886	0.113	0.013	0.165	0.027	0.191	0.037	0.193	0.037
DPI	0.863	0.744	0.298	0.089	0.113	0.013	-0.392	0.154	-0.013	0.000
DDPI	0.064	0.004	-0.876	0.768	0.473	0.224	-0.060	0.004	-0.009	0.000

Coordonnées des individus sur les axes

		axe	1	axe	2	axe	3	axe	4	axe	5
n°		c₁(i)	cos²	c₂(i)	cos²	c₃(i)	cos²	c₄(i)	cos²	c₅(i)	cos²
1	Australie	1.365	0.772	0.410	0.070	-0.194	0.016	-0.572	0.136	-0.131	0.007
2	Autriche	2.049	0.858	-0.055	0.001	0.076	0.001	0.782	0.125	0.278	0.016
3	Belgique	2.417	0.971	0.002	0.000	-0.043	0.000	0.248	0.010	0.332	0.018
4	Bolivie	-1.502	0.563	1.156	0.333	-0.354	0.031	0.516	0.066	0.160	0.006
5	Brésil	-1.053	0.414	-0.850	0.270	-0.690	0.178	-0.593	0.131	-0.132	0.006
6	Canada	1.360	0.436	1.034	0.252	0.244	0.014	-1.124	0.298	-0.063	0.001
7	Chili	-1.589	0.471	1.231	0.283	1.064	0.211	0.171	0.005	-0.393	0.029
8	Taïwan	-1.556	0.523	-1.400	0.423	-0.205	0.009	-0.457	0.045	-0.050	0.001
9	Colombie	-2.038	0.934	0.434	0.042	0.287	0.019	-0.062	0.001	0.140	0.004
10	Costa Rica	-1.565	0.735	-0.156	0.007	-0.715	0.153	-0.401	0.048	0.431	0.056
11	Danemark	2.620	0.896	-0.439	0.025	-0.656	0.056	-0.366	0.017	0.201	0.005
12	Equateur	-2.063	0.825	0.866	0.145	0.356	0.025	0.063	0.001	0.153	0.005
13	Finlande	0.908	0.716	-0.179	0.028	-0.026	0.001	-0.183	0.029	-0.511	0.227
14	France	2.484	0.939	-0.076	0.001	0.253	0.010	0.172	0.004	0.548	0.046
15	RFA	2.108	0.945	0.194	0.008	-0.146	0.005	-0.310	0.020	-0.321	0.022
16	Grèce	0.930	0.362	-0.806	0.272	0.498	0.104	0.735	0.226	-0.290	0.035
17	Guatemala	-2.236	0.794	1.110	0.196	0.250	0.010	0.024	0.000	-0.050	0.000
18	Honduras	-2.124	0.970	0.013	0.000	-0.237	0.012	-0.288	0.018	0.017	0.000
19	Islande	0.208	0.008	2.055	0.768	1.106	0.223	0.002	0.000	0.082	0.001
20	Inde	-1.586	0.769	0.304	0.028	-0.751	0.173	0.255	0.020	-0.181	0.010
21	Irlande	1.203	0.555	0.167	0.011	-0.116	0.005	0.717	0.197	0.778	0.232
22	Italie	1.652	0.805	-0.331	0.032	-0.557	0.091	0.491	0.071	-0.054	0.001
23	Japon	1.274	0.162	-2.632	0.692	-0.996	0.099	-0.398	0.016	-0.552	0.030
24	Corée	-1.865	0.737	-0.216	0.010	1.021	0.221	0.084	0.002	-0.383	0.031
25	Luxembourg	2.188	0.811	1.014	0.174	-0.108	0.002	0.028	0.000	-0.278	0.013
26	Malte	0.436	0.043	-2.046	0.944	-0.086	0.002	0.224	0.011	0.046	0.000
27	Norvège	1.807	0.929	0.392	0.044	0.294	0.025	-0.089	0.002	-0.003	0.000
28	Pays Bas	1.804	0.598	-1.434	0.378	0.277	0.014	-0.064	0.001	-0.218	0.009
29	N^elle Zélande	0.783	0.494	0.601	0.291	-0.388	0.121	0.128	0.013	0.316	0.081
30	Nicaragua	-1.693	0.940	0.336	0.037	-0.197	0.013	-0.025	0.000	0.171	0.010
31	Panama	-1.660	0.835	0.450	0.061	0.567	0.098	-0.124	0.005	-0.061	0.001
32	Paraguay	-1.961	0.629	1.360	0.302	0.355	0.021	0.407	0.027	-0.354	0.021
33	Pérou	-1.218	0.390	0.187	0.009	-1.473	0.570	-0.105	0.003	0.324	0.028
34	Philippines	-1.525	0.556	-0.272	0.018	-1.271	0.386	-0.106	0.003	0.398	0.038
35	Portugal	0.600	0.118	-1.467	0.704	0.353	0.041	0.638	0.133	-0.110	0.004
36	Afri.du sud	0.035	0.002	0.128	0.022	-0.645	0.553	0.538	0.385	-0.168	0.038
37	Rhod.du sud	-0.358	0.056	-0.259	0.029	-1.236	0.664	0.578	0.145	-0.494	0.106
38	Espagne	0.693	0.385	-0.461	0.170	-0.161	0.021	0.703	0.396	-0.189	0.029
39	Suède	2.788	0.718	1.349	0.168	1.052	0.102	-0.363	0.012	-0.031	0.000
40	Suisse	2.455	0.932	0.278	0.012	-0.483	0.036	-0.358	0.020	-0.054	0.000
41	Turquie	-1.759	0.907	0.485	0.069	0.266	0.021	0.000	0.000	-0.100	0.003
42	Tunisie	-2.131	0.731	1.247	0.250	0.259	0.011	0.178	0.005	0.139	0.003
43	R-U	1.912	0.647	1.093	0.212	0.439	0.034	0.758	0.102	0.180	0.006
44	E-U	2.183	0.463	1.507	0.221	0.709	0.049	-1.656	0.267	0.016	0.000
45	Vénézuela	-1.551	0.582	0.739	0.132	-0.923	0.206	-0.552	0.074	0.167	0.007
46	Zambie	-1.270	0.194	-1.905	0.436	-1.667	0.334	-0.526	0.033	0.154	0.003
47	Jamaïque	-1.056	0.170	-1.788	0.487	1.499	0.342	-0.080	0.001	0.066	0.001
48	Uruguay	0.393	0.121	0.522	0.215	-0.289	0.066	0.822	0.533	-0.287	0.065
49	Libye	-1.036	0.047	-3.764	0.623	2.700	0.320	-0.200	0.002	0.423	0.008
50	Malaisie	-2.259	0.901	-0.125	0.003	0.688	0.084	-0.261	0.012	-0.063	0.001

Plan principal 1 x 2 ( l₁ = 2.822, l₂ = 1.256)

Tableau de données

n°		SR	POP15	POP75	DPI	DDPI
1	Australie	11.43	29.35	2.87	2329.68	2.87
2	Autriche	12.07	23.32	4.41	1507.99	3.93
3	Belgique	13.17	23.80	4.43	2108.47	3.82
4	Bolivie	5.75	41.89	1.67	189.13	0.22
5	Brésil	12.88	42.19	0.83	728.47	4.56
6	Canada	8.79	31.72	2.85	2982.88	2.43
7	Chili	0.60	39.74	1.34	662.86	2.67
8	Taïwan	11.90	44.75	0.67	289.52	6.51
9	Colombie	4.98	46.64	1.06	276.65	3.08
10	Costa Rica	10.78	47.64	1.14	471.24	2.80
11	Danemark	16.85	24.42	3.93	2496.53	3.99
12	Equateur	3.59	46.31	1.19	287.77	2.19
13	Finlande	11.24	27.84	2.37	1681.25	4.32
14	France	12.64	25.06	4.70	2213.82	4.52
15	RFA	12.55	23.31	3.35	2457.12	3.44
16	Grèce	10.67	25.62	3.10	870.85	6.28
17	Guatemala	3.01	46.05	0.87	289.71	1.48
18	Honduras	7.70	47.32	0.58	232.44	3.19
19	Islande	1.27	34.03	3.08	1900.10	1.12
20	Inde	9.00	41.31	0.96	88.94	1.54
21	Irlande	11.34	31.16	4.19	1139.95	2.99
22	Italie	14.28	24.52	3.48	1390.00	3.54
23	Japon	21.10	27.01	1.91	1257.28	8.21
24	Corée	3.98	41.74	0.91	207.68	5.81
25	Luxembourg	10.35	21.80	3.73	2449.39	1.57
26	Malte	15.48	32.54	2.47	601.05	8.12
27	Norvège	10.25	25.95	3.67	2231.03	3.62
28	Pays Bas	14.65	24.71	3.25	1740.70	7.66
29	Nouvelle Zélande	10.67	32.61	3.17	1487.52	1.76
30	Nicaragua	7.30	45.04	1.21	325.54	2.48
31	Panama	4.44	43.56	1.20	568.56	3.61
32	Paraguay	2.02	41.18	1.05	220.56	1.03
33	Pérou	12.70	44.19	1.28	400.06	0.67
34	Philippines	12.78	46.26	1.12	152.01	2.00
35	Portugal	12.49	28.96	2.85	579.51	7.48
36	Afrique du sud	11.14	31.94	2.28	651.11	2.19
37	Rhodésie du sud	13.30	31.92	1.52	250.96	2.00
38	Espagne	11.77	27.74	2.87	768.79	4.35
39	Suède	6.86	21.44	4.54	3299.49	3.01
40	Suisse	14.13	23.49	3.73	2630.96	2.70
41	Turquie	5.13	43.42	1.08	389.66	2.96
42	Tunisie	2.81	46.12	1.21	249.87	1.13
43	Royaume Uni	7.81	23.27	4.46	1813.93	2.01
44	Etats Unis	7.56	29.81	3.43	4001.89	2.45
45	Vénézuela	9.22	46.40	0.90	813.39	0.53
46	Zambie	18.56	45.25	0.56	138.33	5.14
47	Jamaïque	7.72	41.12	1.73	380.47	10.23
48	Uruguay	9.24	28.13	2.72	766.54	1.88
49	Libye	8.89	43.69	2.07	123.58	16.71
50	Malaisie	4.71	47.20	0.66	242.69	5.08