« Le
Premier Jour »
étude de cas corrigée
La société « Le Premier Jour » commercialise par correspondance et par l’intermédiaire de magasins franchisés des vêtements, des accessoires et des services (photographies, repas, bals …) pour cérémonies (mariages, naissances, baptêmes, communions…). Elle envisage d’étendre son réseau dans la région Centre, et étudie auparavant l’évolution démographique de la région et en particulier le nombre trimestriel de mariages que l’on connaît par les statistiques de l’INSEE
Pour les calculs, nous considérons la période de 1972 à 1985. Nous pourrons ensuite effectuer les prévisions de l'année 1986 et les comparer aux valeurs réelles. Les données sont extraites de l'ouvrage de A. Bensaber et B. Bleuse-Trillon « Pratique des chroniques et de la prévision à court terme » (Masson, 1989). Elles figurent dans le tableau A1, à la fin de ce document.
I. Analyse des mariages.
1) Les données étant trimestrielles, nous calculons les moyennes mobiles centrées de longueur 4 (tableau 1) et les représentons simultanément avec les observations (figure 1).
Figure 1 : série des mariages dans la région Centre de 1972 à 1985
Moyennes mobiles de longueur 4
Les variations saisonnières auxquelles est soumise la série sont complètement filtrées par les moyennes mobiles qui caractérisent donc la tendance. L’amplitude des variations autour de la tendance ainsi estimée reste à peu près constante pour chaque trimestre, comme on peut le constater sur le tableau A2 donné en annexe. On peut donc penser que le modèle adapté à l’analyse de cette série est le modèle additif.
La série des moyennes mobiles montre que cette tendance est vraisemblablement linéaire décroissante, bien qu’évidemment cela ne puisse concerner que la période étudiée 1972-1985 (on trouvera en annexe un exemple de calcul de moyenne mobile).
|
|
1er trimestre |
2e trimestre |
3e trimestre |
4e trimestre |
|
1972 |
|
|
4235.000 |
4277.250 |
|
1973 |
4230.750 |
4130.875 |
4110.500 |
4079.875 |
|
1974 |
4052.250 |
4040.750 |
3983.875 |
3946.500 |
|
1975 |
3941.875 |
3896.250 |
3846.750 |
3807.375 |
|
1976 |
3770.000 |
3756.750 |
3723.000 |
3694.250 |
|
1977 |
3676.875 |
3635.750 |
3565.500 |
3523.875 |
|
1978 |
3561.750 |
3558.125 |
3521.875 |
3524.000 |
|
1979 |
3453.000 |
3373.875 |
3354.750 |
3316.375 |
|
1980 |
3304.250 |
3300.375 |
3267.750 |
3177.125 |
|
1981 |
3066.000 |
3040.500 |
3041.500 |
3045.125 |
|
1982 |
3056.250 |
3057.625 |
3059.125 |
3039.000 |
|
1983 |
2998.250 |
2954.625 |
2930.125 |
2938.375 |
|
1984 |
2898.250 |
2803.875 |
2741.875 |
2702.500 |
|
1985 |
2681.375 |
2667.250 |
|
|
Tableau 1 : moyennes mobiles de longueur 4 de 1972 à 1985
2) Le modèle choisi étant le modèle additif, les coefficients saisonniers mesurent l’écart moyen entre les observations et les moyennes mobiles pour chaque trimestre. On obtient les coefficients saisonniers suivants :
|
1er trimestre |
s1 = -1641.86058 |
|
2e trimestre |
s2 = 832.00481 |
|
3e trimestre |
s3 = 1723.38942 |
|
4e trimestre |
s4 = - 913.53365 |
Ces coefficients saisonniers servent à désaisonnaliser la série, c’est-à-dire à estimer le nombre de mariages indépendamment de l’effet trimestriel auquel il est soumis (on donne en annexe un exemple de calcul de valeurs désaisonnalisées).
Le tableau 2 donne les valeurs c.v.s. que nous avons représentées graphiquement ci-dessous (figure 2). Certaines valeurs corrigées des variations saisonnières augmentent d’un trimestre au suivant, par exemple, du 2e au 3e trimestre de 1972, de 1978. Ces écarts restent toutefois trop rares pour montrer une inversion de la tendance.
|
|
1er trimestre |
2e trimestre |
3e trimestre |
4e trimestre |
|
1972 |
4184.861 |
3869.995 |
4436.611 |
4399.534 |
|
1973 |
4282.861 |
4109.995 |
3824.611 |
4212.534 |
|
1974 |
4306.861 |
3840.995 |
3872.611 |
4072.534 |
|
1975 |
3991.861 |
3856.995 |
3819.611 |
3760.534 |
|
1976 |
3907.861 |
3625.995 |
3751.611 |
3722.534 |
|
1977 |
3675.861 |
3627.995 |
3610.611 |
3534.534 |
|
1978 |
3301.861 |
3668.995 |
3872.611 |
3243.534 |
|
1979 |
3302.861 |
3684.995 |
3288.611 |
3194.534 |
|
1980 |
3198.861 |
3481.995 |
3394.611 |
3057.534 |
|
1981 |
3074.861 |
2880.995 |
3106.611 |
3141.534 |
|
1982 |
2998.861 |
2985.995 |
3090.611 |
3168.534 |
|
1983 |
2983.861 |
2839.995 |
2910.611 |
2999.534 |
|
1984 |
2956.861 |
2932.995 |
2496.611 |
2658.534 |
|
1985 |
2801.861 |
2772.995 |
2487.611 |
2554.534 |
Tableau 2 : valeurs corrigées des variations saisonnières de 1972 à 1985
Figure 2 : série des mariages et valeurs c.v.s. dans la région Centre.
(1972 à 1985)
3) Une fois admis le modèle linéaire additif, le filtre de Buys Ballot est a priori une méthode correcte pour ajuster cette série afin d’effectuer des prévisions. Le logiciel donne les résultats suivants :
|
Coeff. de régression b |
= |
-30.34437 |
Coeff. constant a |
= |
4308.296 |
|
Coeff. de corrélation r |
= |
0.99397 |
écart type des résidus s |
= |
155.76 |
|
Coeff. saisonnier .s1 |
= |
-1632.99869 |
Coeff. saisonnier s2 |
= |
814.84567 |
|
Coeff. saisonnier s3 |
= |
1721.04718 |
Coeff. saisonnier s4 |
= |
-902.89416 |
Le modèle s’exprime de la façon suivante :
yt = -30.34437 t + 4308.296 + st + et
Le coefficient directeur négatif (-30.34437) correspond à la décroissance de la tendance. L ‘écart type des résidus (155.76) indique l’ordre de grandeur de la variation accidentelle, rarement supérieure à 311 en valeur absolue (2 x 155.76).
La taille du coefficient de corrélation (r = 0.99397) n’est pas suffisante pour valider le modèle. Elle s’explique par la coïncidence de la décroissance de la tendance et de la croissance du temps t. Il est toujours indispensable d’examiner les résidus.
On remarque les faibles différences entre les coefficients saisonniers calculés par le filtre de Buys Ballot et ceux établis en première question. Ces faibles différences s’expliquent par la proximité de la droite de régression du filtre de Buys Ballot et la série des moyennes mobiles, qui caractérisent chacune la tendance à l’aide de laquelle sont estimés les coefficients saisonniers.
4) Pour contrôler la normalité de la distribution des résidus, on peut effectuer un test du c2 : le résultat ci-dessous a été établi en définissant 9 classes de même amplitude, et en réunissant la première et la seconde, puis les trois dernières : on obtient finalement 6 classes. La moyenne théorique est fixée à 0, et il n’y a qu’un paramètre estimé. Le degré de liberté est donc n = 4.
|
Test du c²: x² = 0.1562 |
Ddl: 4 |
Probabilité critique P(X²>x²) = 0.9949 |
Les coefficients d’aplatissement et d’asymétrie de la série des résidus confirment d’ailleurs cette hypothèse avec un risque de 5% (pour 50 ou 60 observations):
|
-0.492 < cas = 0.0527 < 0.492 |
2.15< cap = 2.69 < 3.99 |
Figure 3 : histogramme des résidus
(filtre de Buys Ballot sur les mariages)
La normalité des résidus est donc une hypothèse très vraisemblable.
5) Nous avons calculé les moyennes mobiles de longueur 4 des résidus avant de les représenter graphiquement. La série de ces moyennes mobiles montre qu’il n’existe pas de tendance particulière sur les résidus, qui ne pourrait pas d’ailleurs être linéaire compte tenu des propriétés des résidus (le coefficient de corrélation entre la variable explicative –ici, le temps t, et les résidus est toujours égal à 0).
Figure 3 : série des résidus et des moyennes mobiles de longueur 4
(série des mariages, filtre de Buys Ballot)
Leur coefficient d’autocorrélation de rang 1 est égal à -0.0076. Un modèle autorégressif des résidus ne donnerait donc aucun résultat intéressant (cf. le TP sur l’autocorrélation).
6) En conclusion, nous disposons d’un outil satisfaisant pour prévoir les mariages, en supposant bien entendu que les conditions légales, économiques et sociales restent les mêmes.
La figure 4 montre l’ajustement de la série des mariages par le filtre de Buys Ballot. La qualité de cet ajustement, que l’on connaît déjà puisque le coefficient de corrélation (0.99376) est très proche de 1, est évidente. Les prévisions devraient être satisfaisantes, mais il ne peut s’agir évidemment que de prévisions à court terme.
Figure 4 : ajustement de la série des mariages par le filtre de Buys Ballot
Nous disposons des observations de l’année 1986. Le tableau ci-dessous permet de les comparer aux prévisions effectuées un an à l’avance :
|
Prévision pour |
trimestre |
coefficient saisonnier |
tendance |
valeur prévue |
valeur observée |
|
le 1e trimestre 1986 |
1 |
-1633.0 |
2578.7 |
946 |
1080 |
|
le 2e trimestre 1986 |
2 |
814.8 |
2548.3 |
3363 |
3481 |
|
le 3e trimestre 1986 |
3 |
1721.0 |
2518.0 |
4239 |
4340 |
|
le 4e trimestre 1986 |
4 |
-902.9 |
2487.6 |
1585 |
1640 |
Tableau 3 : comparaison des prévisions et des observations
des nombres de mariages en 1986
Les écarts entre les valeurs prévues et les valeurs observées (inférieurs à 150) sont faibles compte tenu de l’écart type des résidus (155).
Les prévisions apparaissent toutes un peu en dessous des valeurs observées. Cela signifie peut-être que la baisse du nombre de mariages commence à ralentir.
En conclusion, la baisse du nombre de mariages dans la région Centre n’est pas un facteur favorable à un investissement pour l’instant. L’avenir plus lointain, dans quatre ou cinq ans, est moins défavorable : les statistique laissent penser que la diminution du nombre de mariages commence à ralentir. Nous conseillons à l’entreprise Le Premier Jour de surveiller l’évolution démographique de cette région et d’attendre la confirmation de ce ralentissement, et de procéder plutôt par croissance externe (adhésion d’une entreprise à la franchise) si elle envisage d’étendre son réseau malgré l’évolution démographique.
ANNEXES
Tableau A1 : nombres trimestriels
de mariages dans la région Centre
de 1972 à 1986
La moyenne mobile centrée de longueur 4
s’obtient en appliquant la formule suivante :
mmt = [ 0.5 x xt-2 + xt-1 + xt + xt+1 +
0.5 x xt+2 ] / 4
On a :
mm3 = [ 0.5 x 2543 + 4702 + 6160 + 3486 + 0.5 x 2641 ] / 4
= 4235
mm54 = [ 0.5 x 1745 + 1160 + 3605 + 4211 + 0.5 x 1641 ] / 4
= 2667.250
Calcul de moyennes mobiles de longueur 4
|
1er trimestre |
2e trimestre |
3e trimestre |
4e trimestre |
||
|
j = 1 |
j = 2 |
j = 3 |
j = 4 |
||
|
i = 1 |
1972 |
|
|
1925.000 |
-791.250 |
|
i = 2 |
1973 |
-1589.750 |
811.125 |
1437.500 |
-780.875 |
|
i = 3 |
1974 |
-1387.250 |
632.250 |
1612.125 |
-787.500 |
|
i = 4 |
1975 |
-1591.875 |
792.750 |
1696.250 |
-960.375 |
|
i = 5 |
1976 |
-1504.000 |
701.250 |
1752.000 |
-885.250 |
|
i = 6 |
1977 |
-1642.875 |
824.250 |
1768.500 |
-902.875 |
|
i = 7 |
1978 |
-1901.750 |
942.875 |
2074.125 |
-1194.000 |
|
i = 8 |
1979 |
-1792.000 |
1143.125 |
1657.250 |
-1035.375 |
|
i = 9 |
1980 |
-1747.250 |
1013.625 |
1850.250 |
-1033.125 |
|
i = 10 |
1981 |
-1633.000 |
672.500 |
1788.500 |
-817.125 |
|
i = 11 |
1982 |
-1699.250 |
760.375 |
1754.875 |
-784.000 |
|
i = 12 |
1983 |
-1656.250 |
717.375 |
1703.875 |
-852.375 |
|
i = 13 |
1984 |
-1583.250 |
961.125 |
1478.125 |
-957.500 |
|
i = 14 |
1985 |
-1521.375 |
937.750 |
|
|
Tableau A2 : différences
entre les observations et les moyennes mobiles
de 1972 à 1985
Pour calculer les coefficients saisonniers suivant le modèle multiplicatif :
· on calcule les moyennes s’j des colonnes du tableau A2 :
|
1er trimestre |
2e trimestre |
3e trimestre |
4e trimestre |
|
|
j = 1 |
j = 2 |
j = 3 |
j = 4 |
|
|
moyennes |
-1634.606 |
839.2596 |
1730.644 |
-906.2789 |
· on calcule la moyenne s’ des termes précédents :
s’ =7.254808
· on calcule les coefficients saisonniers par la formule sj = s’j – s’
|
s1 |
= |
-1634.606 |
- |
7.254808 |
|
s2 |
= |
839.2596 |
- |
7.254808 |
|
s3 |
= |
1730.644 |
- |
7.254808 |
|
s4 |
= |
-906.2789 |
- |
7.254808 |
· on trouve :
|
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
|
-1641.861 |
832.005 |
1723.389 |
-913.534 |
Calcul des coefficients saisonniers suivant le modèle additif
y’t = y’i,j = yt – st = yi,j – sj
L’indice i indique la ligne et l’indice j la colonne du tableau correspondant à l’instant t. On a :
t = (i – 1 ) x 4 + j
|
valeurs observées en 1985 yi,j (i = 14, j = 1, 2, 3, 4) |
1160.00 |
3605.00 |
4211.00 |
1641.00 |
|
coefficients saisonniers sj |
-1641.86 |
832.00 |
723.39 |
-913.53 |
|
valeurs c.v.s. yi,j – sj |
2801.86 |
2773.00 |
2487.61 |
2554.534 |