Modèles économétriques de prévision

Les modèles économétriques de prévision utilisent le modèle linéaire pour analyser les séries chronologiques et effectuer des prévisions. Certaines méthodes utilisent les modèles « moyennes mobiles », mais leur complexité empêche d’en présenter les éléments mêmes les plus simples. Nous supposerons que les séries ne sont pas soumises à des variations saisonnières.

Le modèle linéaire est défini sur les séries chronologiques par l’équation :

		p
x	=	S	bt-j xj(t) + et
		j = 1

L’idée des modèles économétriques est de choisir les variables explicatives x_j de façon particulière. Elles peuvent être

· des fonctions puissances du temps x_j(t) = t^j

· des variables décalées, de la forme x_j(t) = x(t – j)

Introduction des fonctions puissance de t.

L’introduction des fonctions puissances est source de difficultés de calcul numérique dues aux valeurs absolues des variables considérées qui peuvent varier dans un rapport considérable. Pour t = 23 par exemple, on obtient t⁶ = 1.480359E+08. Il existe des méthodes spécifiques (par les polynômes orthogonaux) qui donnent des résultats fiables, mais les logiciels classiques ne les emploient pas systématiquement. Il est indispensable que ces logiciels effectuent les calculs en double précision.

· Exemple d’ajustement polynomial :

Anderson donne comme exemple la consommation de viande par habitant aux états unis de 1919 à 1941 (fichier ViandeEU.par).

1) Représenter graphiquement la série initiale.

2) Effectuer la régression linéaire multiple en considérant comme variables explicatives les puissances de t, de 1 à 6.

3) Que peut-on dire du résultat de cette régression (coefficient de détermination, coefficients de régression, etc.) ?

4) Effectuer une régression descendante pour sélectionner les variables explicatives, en choisissant un risque de première espèce pour l’élimination égal à 0.05. Conclure.

5) Contrôler le modèle en examinant les résidus.

Introduction des variables décalées

L’introduction de variables décalées repose sur l’hypothèse que l’observation de la série à l’instant t dépend de sa valeur à l’instant t-1, t-2, …. (cette hypothèse est à l’origine aussi des lissages exponentiels) et d’autres variables explicatives décalées de façon identique.

On calcule tout d’abord les coefficients de corrélation entre les variables décalées et la variable observée : les coefficients de corrélation sont appelés coefficients d’autocorrélation. On est amené à diminuer le nombre d’observations, puisque le décalage empêche le calcul du coefficient entre x_t et x_t-j sur les observations de rang inférieur ou égal à j. Il est donc indispensable de fixer au départ le décalage maximal.

On procède ensuite à une sélection de variables explicatives analogue à la précédente.

· Exemple de modèle économétrique avec des variables décalées :

Bleuse-Trillon et Bensaber étudient l’indice INSEE des valeurs françaises à la bourse de Paris de 1962 à 1986. On se limite aux 21 dernières observations (Bourse.par) sur les 25 disponibles pour pouvoir effectuer un décalage égal à 4 ans. Les variables explicatives considérées sont donc l’indice annuel des prix de l’année x_t et des quatre années précédentes x_t-1, x_t-2, x_t-3 et x_t-4.

1) Effectuer la régression sur le modèle complet. Quels sont les coefficients de régression significatifs ? Tester la nullité des trois autres coefficients de régression.

2) Peut-on déterminer d’autres variables explicatives par un logiciel de régression pas à pas ?

3) Proposer une interprétation économique des signes des coefficients de régression .

4) Contrôler les résidus pour valider le modèle. On examinera en particulier les coefficients d’autocorrélation des résidus.

5) On considère maintenant comme variables explicatives l’indice des prix et les indices décalés jusqu’à quatre ans, le temps t et les puissances de t jusqu’à la puissance 4. Effectuer la régression en sélectionnant les variables de façon raisonnée

6) Contrôler le modèle en examinant les résidus.

7) On décide maintenant d’introduire comme variables explicatives à la fois le temps et ses puissances jusqu’à t⁴ et les taux de x_t à x_t-4. Sélectionner les variables explicatives et contrôler le modèle obtenu.