Risque
de seconde espèce
Introduction par simulation
Nous étudions dans cet exercice le risque de seconde espèce du test
fondé sur le coefficient d’aplatissement pour contrôler la normalité d’une
distribution.
On considère une v.a. X suivant une loi de probabilité donnée. On suppose a priori que la loi de la v.a. X est la loi normale.
I. On a simulé 20 échantillons de taille 20, donnés plus loin.
1) Quels sont les échantillons pour lesquels on accepte l’hypothèse d’une loi normale avec un risque égal à 5%, compte tenu des coefficients donnés ?
2) La loi de probabilité simulée est en réalité la loi uniforme sur ]0, 1[. Quelle est la nature de l’erreur commise en acceptant l’hypothèse de la loi normale ?
3) Montrer que les valeurs théoriques des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement de la loi uniforme sont gas = 0 et gap = 1.8. Expliquer les résultats précédents.
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n° |
Coefficient d’asymétrie |
Coefficient d’aplatissement |
|
1 |
0.29681 |
1.56746 |
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2 |
-0.43496 |
2.00628 |
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3 |
0.54775 |
2.35730 |
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4 |
-0.05325 |
1.82879 |
|
5 |
0.04748 |
1.54456 |
|
6 |
-0.09136 |
1.67835 |
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7 |
-0.05924 |
1.99754 |
|
8 |
-0.01667 |
1.75131 |
|
9 |
-0.32287 |
1.80879 |
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10 |
-0.34785 |
1.87473 |
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n° |
Coefficient d’asymétrie |
Coefficient d’aplatissement |
|
11 |
0.17194 |
2.13567 |
|
12 |
-0.13260 |
2.05432 |
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13 |
0.04705 |
1.73957 |
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14 |
-0.26420 |
1.85551 |
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15 |
0.30965 |
1.59772 |
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16 |
-0.58201 |
2.22030 |
|
17 |
0.02020 |
1.70699 |
|
18 |
0.35498 |
1.89111 |
|
19 |
-0.07490 |
1.37502 |
|
20 |
-0.49114 |
2.22097 |
coefficients d’asymétrie et d’aplatissement
de 20 échantillons de taille 20
de la loi uniforme
II. On a généralisé la procédure en simulant 1000 échantillons de taille 20. Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces échantillons suivant que l’on accepte ou rejette l’hypothèse nulle suivant les valeurs du coefficients d’asymétrie (en lignes) et d’aplatissement (en colonnes).
1) Comparer la proportion d’échantillons de la loi uniforme dont le coefficient d’asymétrie est supérieur à 0.772 en valeur absolue au risque de première espèce a = 5%. Ces coefficients permettent-ils de rejeter l’hypothèse nulle de la loi normale au profit de l’hypothèse alternative de la loi uniforme ? Que peut-on dire des coefficients d’aplatissement supérieurs à 4.16 ?
2) Quelle statistique faut-il choisir pour contrôler l’hypothèse de normalité de la loi de X lorsque l’hypothèse alternative est la loi uniforme ? Quels sont la région critique et le risque de première espèce ?
3) Quel est le pourcentage d’échantillons de la loi uniforme pour lesquels on rejette l’hypothèse de la loi normale ? Donner un intervalle de confiance de la puissance au niveau de confiance de 95% .
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H1 |
H0 |
H1 |
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cap < 1.820 |
1.820 < cap <
4.16 |
cap > 4.16 |
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H1 |
cas<-0.772 |
0 |
9 |
2 |
|
H0 |
-0.772<cas<0.772 |
443 |
532 |
0 |
|
H1 |
cas>0.772 |
0 |
14 |
0 |
décisions prises en fonction des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement
(1000 échantillons de taille 20)