Simulation d’une loi discrète

 

Les programmes dans le dossier Programmes d’applications permettent de simuler quatre lois de probabilité discrètes : la loi binomiale, la loi uniforme, la loi de Poisson, et toute loi discrète dont la densité est fixée par l’utilisateur. Ils sont structurées de la même façon.

La simulation d’une loi discrète permet de vérifier plusieurs propriétés des probabilités :

·        la convergence des proportions observées vers les probabilités théoriques ;

·        la convergence de la moyenne et de la variance des  l’échantillon vers les paramètres théoriques.

 

Considérons par exemple la loi de Poisson de paramètre l = 5. On a obtenu l’échantillon ci-dessous par simulation :

Les valeurs observées varient de 0 à . On peut comparer la fréquence de chaque valeur à la probabilité théorique :

Pour mesurer l’écart entre les probabilités théoriques réelles et les fréquences observées, on dispose de deux valeurs numériques : la somme des carrés des différences et la valeur de la statistique X2. Cette dernière est utilisée pour effectuer un test statistique (cf. chapitre 6).

La convergence des fréquences vers les probabilités théoriques, de la moyenne et de la variance observées vers la moyenne et la variance théoriques théorique  peuvent être constatée en complétant le tableau ci-dessous :

 

taille de l’échantillon n

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

200

300

500

carré de la distance d2

0.095

0.066

0.026

0.01

0.031

0.015

0.01

 

 

 

 

 

 

(m – m)2

1.21

0.90

1.21

0.04

0.01

0.090

0.11

 

 

 

 

 

 

(s2s2)2

10.96

8.72

0.19

0.07

2.74

0.021

3.48

 

 

 

 

 

 

 

On représentera graphiquement chacune de ces trois fonctions de n, en utilisant éventuellement une échelle logarithmique.

 

Cette procédure peut être poursuivie de la façon suivante : on simule 10 échantillons de chaque taille, et on reporte les résultats dans cinq tableaux analogues au précédent. On peut en déduire, pour chaque valeur de n, la moyenne des différences (m – m)2 et (s2s2)2. On peut ensuite conclure sur le meilleur estimateur du paramètre l dans le cas d’une loi de Poisson.