La loi des grands nombres est utilisée dans les journaux populaires pour justifier les pronostics publiés à propos des jeux de hasard tels que le loto : « tel numéro n’est pas sorti depuis un grand nombre de tirages, donc il devrait sortir bientôt », ou encore : « la fréquence de tel numéro est actuellement supérieure à la normale, c’est donc une période favorable pour le jouer ». Ces raisonnements - contradictoires - sont faux parce qu’ils appliquent la loi des grands nombres aux effectifs, alors que la convergence ne concerne que les proportions, et qu’ils remettent en cause l’hypothèse d’indépendance des tirages ainsi que l’équiprobabilité des numéros.
Considérons un dé à 6 faces supposé parfait. La probabilité d’obtenir une face donnée est une loi uniforme discrète sur {1, 2, …, 6}. On notera U la v.a. qui suit la loi normale centrée réduite.
1) on considère 36 lancers. Quelle est la loi de probabilité du nombre de faces 1 obtenues ? Quelles sont la moyenne et la variance de la proportion de face 1 obtenues ?
2) quelle est la
probabilité que le nombre de faces 1 obtenues soit supérieur ou égal à 8 ?
3) On suppose dans la suite que n est suffisamment grand pour que la loi du nombre de faces 1 obtenues soit approximativement la loi normale de même moyenne et de même variance que la loi théorique indiquée en première question dans le cas particulier n = 36. On définit la v.a. X comme la différence entre le nombre de faces 1 obtenues et leur moyenne théorique. Quelle est la loi de X ?
4) Quelle est la probabilité que X soit supérieure à 10 pour n = 80, 180, 320, 500 ? Exprimer cette probabilité dans le cas général en fonction de la v.a. U qui suit la loi normale centrée réduite. Comment varie cette probabilité quand n augmente indéfiniment ? Quelle est la limite de la probabilité que X soit supérieure à 10 en valeur absolue ?
5) Quelle est la probabilité que X soit supérieur ou égal à n1/2 /6, pour n = 144 ? Dans le cas général ? En déduire la probabilité que X soit compris entre - n1/2/6 et n1/2/6. Comment varie cet intervalle ?
6) Calculer la probabilité que la proportion X/n soit comprise entre - 1/[6n1/2] et 1/6n1/2. Comment varie cet intervalle ?
1) La loi de probabilité du nombre de faces 1 obtenues est
la loi binomiale de
paramètres n = 36 et p=1/6 = 0.166667. La moyenne est égale à n p = 6 et la
variance à
n p(1-p) = 5/36 = 0.138889. On pose q = 1-p.
2) Le calcul par ordinateur peut être effectué par le
logiciel Calcul de probabilités (lois
discrètes).
On obtient :
|
k |
P(X=k) |
P(X<=k) |
k |
P(X=k) |
P(X<=k) |
|
0 |
0.001411 |
0.001411 |
10 |
0.036722 |
0.971515 |
|
1 |
0.010158 |
0.011569 |
11 |
0.017360 |
0.988874 |
|
2 |
0.035553 |
0.047122 |
12 |
0.007233 |
0.996107 |
|
3 |
0.080587 |
0.127708 |
13 |
0.002671 |
0.998778 |
|
4 |
0.132968 |
0.260677 |
14 |
0.000878 |
0.999656 |
|
5 |
0.170199 |
0.430876 |
15 |
0.000257 |
0.999913 |
|
6 |
0.175873 |
0.606748 |
16 |
0.000068 |
0.999981 |
|
7 |
0.150748 |
0.757496 |
17 |
0.000016 |
0.999996 |
|
8 |
0.109292 |
0.866788 |
18 |
0.000003 |
1.000000 |
|
9 |
0.068004 |
0.934792 |
19 |
0.000001 |
1.000000 |
On a la relation suivante :
P (X³8) + P(X£ 7) = 1
On lit dans la table ci-dessus : P(X£ 7) = 0.757496. On en déduit évidemment :
P(X³8) = 0.242504
3) La loi binomiale est approchée par la loi normale de moyenne m = n p et de variance s2 = n p(1-p) = n p q. La loi de X est donc la loi normale de moyenne 0 et de variance n p q. La v.a. U = X / (n p q)1/2 suit la loi normale centrée réduite.
4) On trouve :
|
pour n = 80 : |
m = 0 |
s = 3.3333 |
P(X>10) = 0.00135 |
|
pour n = 180 |
m = 0 |
s = 5 |
P(X>10) = 0.02275 |
|
pour n = 320 |
m = 0 |
s = 6.6667 |
P(X>10) = 0.06682 |
On constate que cette probabilité augmente.
La probabilité dans le cas général est la suivante :
P(X > 10) = P(X/s > 10/s) = P[ U >10/(n p q)1/2]
Quand n augmente indéfiniment, le terme 10/(n p q)1/2 tend vers 0. On a donc :
lim (P(X > 10) = P(U > 0) = 0.5
La v.a. X est symétrique et la probabilité que X soit supérieure à 10 en valeur absolue . converge vers 0.5 + 0.5 = 1
5) Pour n = 144 on trouve :
|
m = n p = 24 |
s = 4.472136 |
n1/2 / 6 = 2. |
On obtient :
P(X³2) = 0.32736
En réalité, on trouve toujours cette valeur puisque l’on a :
|
P(X³n1/2p ) |
= P{ X / (n p q)1/2 ³ n1/2p / (n p q)1/2 }] |
|
|
= P{U>(p/q)1/2} |
Cette dernière valeur est indépendante de n. Pour p = 1/6, on obtient :
|
P{U>(p/q)1/2} |
= 0.32736 |
La probabilité que X soit compris entre -n1/2/6 et n1/2/6 est égale à 0.34528. La longueur de l’intervalle augmente en fonction de n et est proportionnelle à n1/2.
6) On a : P(-1/6n1/2 <
X/n < 1/6n1/2 ) = 0.32736
La longueur de cet intervalle diminue et tend vers 0.
Conclusion de
l’exercice :
· Nous avons montré dans la question 4 que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur à 10 en valeur absolue tend vers 1 lorsque le nombre de lancers augmente indéfiniment. On est donc presque sûr que l’effectif ne se rapproche pas de la moyenne.
· Nous avons déterminé en question 5 un intervalle contenant l’écart à la moyenne de probabilité constante, et montré que cet intervalle devient de plus en plus grand lorsque le nombre de lancers augmente indéfiniment.
· Par contre, l’intervalle sur la proportion que l’on déduit du précédent diminue de plus en plus et à l’infini l’écart à la moyenne théorique devient nul.
Il y a donc divergence des effectifs et convergence des proportions.