Devoir de probabilité 4

I. Lois discrètes

On considère une v.a. X prenant ses valeurs dans l’ensemble {1, 2, 3, 4}. On note
pi = P(X=i).

1) Quelle est la nature de cette loi ? On suppose les relations suivantes :

p2 = 4 p1, p3 = 4 p1, p4 = p1

En déduire les probabilités théoriques.                                                                  

2) On considère un échantillon de taille N. Donner des valeurs approximatives de la moyenne et de la variance de cet échantillon.     

3) On donne ci-dessous la répartition de 100 valeurs observées d’une v.a. Y:

1

2

3

4

22

27

26

25

La loi de Y peut-elle être celle de X ? Sinon, peut-elle être une loi connue ?      

4) On donne ci-dessous la répartition de 100 valeurs observées d’une v.a. Z:

1

2

3

4

13

39

37

11

La loi de Y peut-elle être celle de X ? Sinon, peut-elle être une loi connue ?

 

II. Loi continue

1) On considère un v.a. U suivant la loi uniforme sur l’intervalle [2, 6]. Exprimer sa densité sous la forme d’une fonction f(x).et la représenter graphiquement.

2) On a observé un échantillon de taille 250 d’une v.a. V. La répartition en classes est la suivante :

Classes

effectifs

[2, 3[

61

[3, 4[

65

[4, 5[

70

[5, 6]

54

On suppose que V suit la loi uniforme sur [2, 6]. Calculer les probabilités théoriques de chaque intervalle. L’hypothèse est-elle vraisemblable ?

3) Calculer des valeurs approximatives de la moyenne et de la variance observées de l’échantillon. L’hypothèse précédente est-elle confirmée ?