Devoir de probabilité 3.

 

I. On considère une v.a.X suivant la loi de probabilité définie par la densité :

quel que soit x Î[-1, 1]

f(x) = k x2

quel que soit x Ï [-1, 1]

f(x) = 0

1) Calculer la valeur de la constante k. Représenter graphiquement la densité.

2) Calculer la moyenne et la variance théoriques de cette v.a.. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition.

3) Calculer les probabilités suivantes :

P(XÎ[-1, -3/4] )

P(XÎ[-3/4, -1/2] )

P(XÎ[-1/2, -1/4] )

P(XÎ[-1/4, 0])

En déduire les probabilités suivantes :

P(XÎ[0, 1/4])

P(XÎ[1/4, 1/2])

P(XÎ[1/2, 3/4])

P(XÎ[3/4, 1])

II. On considère maintenant la fonction g(x) définie par :

quel que soit  x Î[-1, 1]

g(x) = k x2 + a

quel que soit  x Ï [-1, 1]

g(x) = 0

1) On suppose que le paramètre a est compris strictement entre 0 et 1/2. Exprimer k en fonction de a  de façon que la fonction g soit la densité de probabilité d’une v.a. Y.

2) Représenter graphiquement la fonction g(x) pour a =1 et k = -3/2. Cette fonction peut-elle être la densité de probabilité d’une v.a. Y ?

3) Quelles sont les valeurs du paramètre a telles que la fonction g(x) soit la densité de probabilité d’une v.a. Y ?

4) En déduire alors la moyenne et la variance théoriques de la v.a. Y.

5) Calculer la fonction de répartition de la v.a. Y.

III. On considère une v.a. continue X dont la densité est la fonction f définie par :

f(x) = a e-a x

si x > 0

f(x) = 0

sinon.

1)      Représenter la fonction f(x) pour x Î R et a = 1.5.

2)      Que peut-on dire de la fonction F définie par :

F(x) = -e-a x

(x>0)

F(x) = 0

(x<0) ?

En déduire les probabilités ci-dessous :

P(0 < X < 0.5), P(0.5 < X < 1), P(1 < X < 1.5), P(1.5 < X < 2.5), P(2.5 < X < 5)

3) On considère 100 valeurs observées d’une v.a. Y, que l’on a réparties en 5 classes :

 

I1

I2

I3

I4

I5

Classe

[0, 0.5 [

[0.5, 1 [

[1,1.5 [

[1.5, 2.5 [

[2.5, 5 [

Effectif

40

19

8

6

2

On note li la longueur de l’intervalle Ii. Calculer les densités observées di et construire l’histogramme (on pourra utiliser StatPC).

4) Calculer en fonction du paramètre a les probabilités théoriques pi = P(XÎIi), et les valeurs yi appelées valeurs moyennes telles que :

li yi = pi

Que peut-on dire des densités di et des valeurs moyennes yi pour a = 1.5 ? Pour a = 2 ? En déduire une méthode pour choisir le paramètre a convenant le mieux à la répartition observée.