X suit la loi normale N(10,3), Y la loi normale N(-10,2), Z la loi uniforme continue sur l’intervalle [0,5]. Calculer les probabilités suivantes :
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P(X>12) |
P(X<7) |
P(7<X<12) |
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P(Y<-11) |
P(Y>-8) |
P( -11<Y<-8) |
|
P(Z<1) |
P(Z>3) |
P(2<Z<4) |
X suit la loi normale N(12,2), Y suit la loi binomiale B(6,0.4), Z suit la loi de Poisson P(2.5). Calculer les probabilités suivantes (on utilisera StatPC ou des tables statistiques):
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P( X>13) |
P(X<11), |
P(10<X<14) |
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P(Y=2) |
P(Y>4), |
P(2<Y<5) |
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P(Z = 1) |
P(1<Z<3) |
P(Z>1) |
On considère un échantillon d’une variable aléatoire discrète X dont la répartition est donnée dans le tableau ci-dessous :
v.a. X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Effectifs |
12 |
24 |
23 |
14 |
2 |
0 |
0 |
Valeurs observées
1) Calculer la moyenne et la variance observées.
2) On suppose que la v.a. X suit la loi binomiale B(n,p). En comparant la moyenne théorique à la moyenne observée, calculer la valeur de p pour n = 4, n = 5, n = 6. Calculer dans chaque cas les variances théoriques. Quelles sont les valeurs de n et p les plus vraisemblables ?
3) On suppose que le paramètre n de la loi binomiale est égal à 5. Calculer, en considérant la valeur de p déduite de n = 5, la probabilité P(X ¹ 5). En déduire la probabilité que, parmi les 75 valeurs précédentes de X, aucune ne soit égale à 5. Le fait que l’effectif d’observations égales à 5 soit nul est-il contradictoire avec cette loi binomiale ?
On considère une v.a. discrète X prenant les valeurs entières de 1 à 4 et dont la loi de probabilité vérifie : p2 = 2 p1, p3 = 3 p1, p4 =4 p1.
1) Calculer les probabilités p1 , p2 , p3 , p4 ainsi que la moyenne et la variance théoriques.
2) On tire au hasard un échantillon de 100 observations de cette v.a. Quelles devraient être approximativement la moyenne et la variance de cet échantillon ?
3) Quelle est la loi de probabilité approximative de la moyenne de cet échantillon ? En déduire un intervalle symétrique par rapport à la valeur précédente contenant la moyenne de l’échantillon avec une probabilité égale à 0.95.
4) On considère un échantillon de taille 100 d’une v.a. Y dont la répartition en 4 classes est donnée ci-dessous :
Classes |
Effectifs |
Classes |
Effectifs |
|
[0, 1 [ |
8 |
[ 3, 6 [ |
31 |
|
[1, 3 [ |
21 |
[ 6, 10 ] |
40 |
Construire l’histogramme de l’échantillon. Calculer la moyenne et la variance en caractérisant chaque classe par son centre.
5) On considère maintenant une v.a. U dont la loi de probabilité est la loi uniforme continue sur [0, 10]. Représenter graphiquement la densité de U et calculer les probabilités suivantes :
P(0<U<1), P(1<U<3),
P(3<U<6), P(6<U<10).
6) Comparer de deux façons différentes la loi de Y et la loi de U.
7) On définit la v.a. Z de la façon suivante :
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Z = 1 si |
Y Î [0,1] |
Z = 3 si |
Y Î [3,6] |
|
Z = 2 si |
Y Î [1,3] |
Z = 4 si |
Y Î [6,10] |
Déduire de l’échantillon précédent un échantillon de Z. Calculer la moyenne et la variance de cet échantillon. Quelle est la loi de probabilité de Z ?