L’emballage du petit déjeuner pour enfant Potron Minet comporte un jeu se présentant sous la forme de cinq cases contenant sous un cache l’image d’un animal. Parmi ces cinq cases, deux seulement contiennent l’image d’un chat.
1) Le joueur gagne si, en grattant deux cases sur les cinq, il trouve les deux chats. Quelle est la probabilité de gagner ?
2) La famille Rodilard consomme à partir du premier janvier 2000 un paquet de Potron Minet par semaine. Quelle est la probabilité de gagner la première semaine ? La seconde semaine seulement ? Au bout de combien de semaines minimum la probabilité de gagner au moins une fois est-elle supérieure à 0.5 ?
3) Préciser la nature et les paramètres de la loi du nombre de fois X que la famille Rodilard gagne au cours d’une année (52 semaines). Calculer, à l’aide de la table de la loi de X ci-dessous, la probabilité qu’elle gagne au moins une fois dans l’année ? au plus 8 fois ?
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k |
P(X=k) |
k |
P(X=k) |
k |
P(X=k) |
k |
P(X=k) |
|
0 |
0.004175 |
5 |
0.183737 |
10 |
0.018941 |
15 |
0.000091 |
|
1 |
0.024120 |
6 |
0.159919 |
11 |
0.008035 |
16 |
0.000023 |
|
2 |
0.068339 |
7 |
0.116767 |
12 |
0.003050 |
17 |
0.000005 |
|
3 |
0.126554 |
8 |
0.072979 |
13 |
0.001043 |
18 |
0.000001 |
|
4 |
0.172254 |
9 |
0.039643 |
14 |
0.000323 |
19 |
0.000000 |
4) Pendant la semaine de Noël, l’entreprise Potron Minet offre un cadeau à chaque joueur ayant gagné. Le nombre de paquets vendus est estimé à 10 000, et la marge bénéficiaire par paquet est de 1,50F HT. Exprimer le bénéfice total HT en fonction du nombre n de gagnants et du coût unitaire c HT du cadeau.
5) Sans cette opération, le nombre de paquets vendus aurait été de 8 000. En déduire le bénéfice supplémentaire DB que l’on peut espérer. Application : n= 1000 et c =1F HT..
6) On suppose que pendant la semaine de Noël le nombre N de gagnants suit la loi normale de moyenne 1000 et d’écart type 30. Expliquer pourquoi. Quelle est la loi du bénéfice supplémentaire DB dû à l’opération commerciale ? Calculer le bénéfice bmin tel que P(DB >b)=0.95 (on utilisera la relation P(U>-1.6449)=0.95, dans laquelle U représente la loi normale centrée réduite).
N.B. L’expression « Dès potron minet » signifie « dès que le chat montre son derrière », c’est-à-dire au lever du jour. Rodilard est le nom d’un chat terreur des rats dans une fable de La Fontaine.